Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

1. Равноускоренное движение. Пусть в начальный момент времени t=0 материальная точка имеет начальное положение S(0)=0, начальную скорость V(0)=V₀ и далее движется прямолинейно с постоянным ускорением a(t)=a. Если S(t) и V(t) – соответственно путь, пройденный точкой за время t, и ее скорость в момент времени t, то S′(t)=V(t) и V′(t)=a(t)=a. Т.е., ф-ция перемещения S(t) явл-ся решением диф.уравнения S′′(t)=a. Найдем решение, интегрируя уравнение дважды.

.

.

2. Уравнение движения. Пусть материальная точка массы m движется прямолинейно под действием переменной силы F(t). Тогда в силу второго закона Ньютона . Поскольку a(t)=S′′(t), то ф-ция перемещения S(t) явл-ся решением диф.уравнения . Это диф. уравнение называют уравнением движения. Например, если рассматривать свободное падение материальной точки в поле тяготения Земли, то действующая на точку сила сводится к силе тяжести F(t)=P=mg и уравнение движения имеет вид S′′(t)=g. Если полагать, что сила сопротивления воздушной среды пропорциональна скорости движения F_c(t)=kV(t), то суммарная сила, действующая на точку, равна F(t)=mg-F_c(t)=mg−kV(t). В этом случае уравнение движения имеет вид . Его решением (для V₀=0) явл-ся ф-ция

Скорость и ускорение такого движения изменяются так

3. Геометрические задачи. Пусть требуется найти линию, проходящую ч/з точку А(1,2) и обладающую следующим св-вом: для любой ее касательной отрезок этой касательной, заключенный м/у осями системы координат, в точке касания делится пополам. Обозначим ч/з y(x) уравнение искомой линии и пусть M(x₀,y₀) - ее произвольная фиксированная точка. Касательная к кривой в этой точке имеет уравнение y-y(x₀)=y’(x₀)(x-x₀). Найдем ординаты точек пересечения этой касательной с осями системы координат.

x_B=0, y_C=0. Тогда

Т.к М – середина отрезка BC, то

Отсюда

Т.к. x₀ - произвольная точка, то искомая ф-ция должна удовлетворять диф.уравнению первого порядка

Для произвольной постоянной С ф-ция y(x)=C/x удовлетворяет этому уравнению. Т.к. кривая должна проходить ч/з точку А(1,2), то подставив в это решение x=1 и y=2, получим С=2. Решением явл-ся гипербола y=2/x.

2.Диф. уравнения первого порядка: основные определения, задача Коши, общее и частное решения, общий и частный интеграл. Диф. уравнение первого порядка имеет вид . (1)

Если (1) представима в виде y’=f(x,y) то ДУ разрешено относительно производной.

Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения ДУ. Если в уравнении y’=f(x,y) ф-ция f(x,y) и ее частная производная по у непрерывны в некоторой области D на плоскости Оху, содержащей некоторую точку (х₀,у₀), то единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию у₀=y(x₀).

Геометрический смысл теоремы: через точку (х₀, у₀) проходит единственная интегральная кривая (решение ДУ).

Условие, что при х = х0 функция у должна равняться заданному числу у0, называется начальным условием.

Общим решением ДУ первого порядка называется ф-ция :

1. она удовлетворяет ДУ при любом значении С; 2. удовлетворяет условие (х₀,у₀).

Равенство Ф(х,у,С)=0 называется общим интегралом ДУ.

Частным решением называется любая ф-ция которая получается из общего решения , если в последнем произвольному постоянному С придать определенное значение С=С₀. Соотношение Ф(х,у,С₀)=0 называется частным интегралом ДУ.

3.ДУ первого порядка: понятие изоклины, особые точки ДУ. Геометрическая интерпретация общего решения ДУ.

Особым решением называется такое решение ДУ, во всех точках которого нарушены условия теоремы Коши, т.е. в любой окрестности каждой точки (х,у) особого решения , по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Геометрическая интерпретация ДУ первого порядка. Пусть дано ДУ, разрешенное относительно производной: y’=f(x,y) (1')

и общее решение данного уравнения. Общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости Оху.

Уравнение (1') для каждой точки М(х,у) определяет знание производной , т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей ч/з эту точку. Т.о., ДУ (1') определяет поле направлений на плоскости Оху.

С геометрической точки зрения задача интегрирования ДУ заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках. Для геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение называется изоклиной ДУ.

4.ДУ с разделяющимися переменными. Метод решения. Пример. ДУ вида р(x)dx+q(y)dy=0 называют уравнением с разделенными переменными.

Р(х)+Q(у)=С - общий интеграл ДУ разделенными переменными.

Уравнение вида

М₁(х) N₁(у) dx + М₂(х) N₂(y)dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными, где М₁, М₂ непрерывна на [a,b], N₁, N₂ непрерывна на [c,d]. Если N₁(у₀)=0, то у=у₀ - решение уравнения. Аналогично, если М₂(х₀)=0, то х=х₀ - решение уравнения. Если N₁(у)М₂(х)≠0,то уравнение равносильно

являющемуся уравнением с разделенными переменными.

Интегрируем это уравнение:

– общий интеграл

Пример.

5.Однородные и приводящиеся к однородным ДУ I порядка. Метод решения. Пример. Ф-ция f(x,у) называется однородной ф-цией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом λ справедливо тождество

.

Если , то f(x,у) однородная нулевого измерения.

Пример.

. f(x,у) - однородная нулевого измерения.

Уравнение 1-го порядка

называется однородным относительно х и у, если ф-ция f(x,у) есть однородная ф-ция нулевого измерения относительно х и у.

Перепишем ДУ в виде

Замена: y=Ux, где U=U(x), тогда , тогда уравнение примет вид

=g(U)-U

Если , то - решение ДУ. Если U , то

интегрируем

.

Если Ф(U) - первообразная для , то общий интеграл имеет вид

Уравнения вида

при приводятся к однородным подстановкой x=u+ , y= , где - точка пересечения прямых и

Если , то подстановка позволяет разделить переменные.

Пример.

Замена: y=Ux,

; ;

;

;

; .

6.Линейные ДУ I порядка, уравнения Бернулли. Методы решения. Примеры. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

линейное относительно неизвестной функции и ее производной, при этом ф-ции Р(х) и Q(x) непрерывны на некотором интервале (а,b).

Метод Бернулли. Решение уравнения ищем в виде: y=uv, где u=u(x), v=v(x), тогда y’=u’v+uv’. Выполним подстановку: u’v+uv’+

1)

;

Пример.

1) ;

;

; ;

Метод вариации произвольного постоянного.

- однородное у-ие соотв-щее

;

Подставим в исходное уравнение:

, тогда

Уравнение Бернулли -уравнение вида

где Р(х) и Q(х) - непрерывные на некотором интервале (а,b),

Разделим на

(#)

Обозначим

Подставим в (#)

- линейное уравнение относительно z.

Пример.

, получим

- линейное уравнение.

Решим методом Бернулли.

z=uv;z=u’v+uv’, тогда

1) ;

;

2)

)

7.ДУ в полных дифференциалах. Методы интегрирования. Примеры. Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если М(х,у) и N(х,у) - непрерывно-дифференцируемые в области D ф-ции, для которых выполняется соотношение

Докажем, что если левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал, то выполняется условие (2), и обратно - при выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) есть полный дифферен­циал некоторой функции u(x,у), т.е. уравнение (1) имеет вид du(x,y)=0 u(х,у) = С.

Предположим

Тогда

Дифференцируя первое соотношение по у, а второе - по х, получим:

.

Равенство (2) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (1) была полным дифференциалом некоторой функции u(х,у). Достаточность:

,

где х₀ - абсцисса любой точки из области существования решения. Дифференцируем по у:

.

,

.

Т.о., ф-ия u(х,у) будет иметь вид:

Общий интеграл имеет вид:

(x₀,y₀) – точки, в которых M и N определены.

Пример.

1)

Проверим условие

или

2)

тогда

8. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка вида. ДУ n-го порядка имеет вид:

. (*)

Выразим из (*) y⁽ⁿ⁾

1).

Найдем общий интеграл этого уравнения. Интегрируя по х левую и правую части, получим:

.

Интегрируем:

2) не содержит у.

Подстановка , тогда уравнение примет вид:

Рассмотрим ДУ 2-го порядка разрешенного относительно y’’ этого вида.

. Подстановка

. Получим: .

Пусть найдено решение , тогда

3) не содержит x.

Подстановка

и т.д.

Рассмотрим уравнение 2-го порядка этого вида . Подстановка . Получим:

.

Пусть найдено решение , тогда ,

, где – первообразная

9. Линейные ДУ высших порядков: основные определения, постановка задачи Коши.

11.Неоднородные ДУ II порядка: теорема о структуре общего решения.

Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка

(1)

Теорема о структуре общего решения 1. Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у* и общего решения соответствующего однородного уравнения

(2)

Док-во. Доказать, что сумма

(3) - общее решение неоднородного уравнения.

Подставим в уравнение (1) вместо у:

(4)

Т.к. - решение уравнения (2), то

Т.к. у* - решение уравнения (1),

, равенство (4) является тождеством. Т.о. первая часть теоремы доказана.

Докажем, что выражение (3) - общее решение уравнения (1), т.е. докажем, что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

каковы бы ни были числа x₀, у₀ и (x₀ должно быть взято из области, где функции a₁, а₂, f(x) непрерывны).

Представим где и у₂ - линейно независимые решения уравнения (2), C₁, С₂ - произвольные постоянные. Перепишем равенство (3) в виде

Тогда на основании начальных условий

Из этой системы уравнений нужно определить С₁ и С₂.

Определитель этой системы - определитель Вронского для функций y₁ и у₂ в точке х=х₀. Т.к. эти ф-ции по условию линейно независимы, то определитель Вронского такие значения C₁ и С₂, при которых формула (3) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее данным начальным условиям. Теорема доказана.

12.Линейные однородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами: характеристичес-кое уравнение, вид общего решения. Имеем линейное однородное уравнение 2-го порядка

(*)

где р и q - постоянные действительные числа. Найдем частные решения в виде

у = е^kх, где k = const; тогда

Подставим в уравнение (*):

Т.к. , то, - характеристическое уравнением по отношению к уравнению (*).

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня: обозначим их k₁ и k₂.

Возможны следующие случаи:

I. k₁ и k₂ – действительные, ;

частные решения:

Эти решения линейно независимы, т.к.

общее решение имеет вид

II. k₁ и k₂ - комплексные числа;

Частные решения:

Общее решение:

(#)

Рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые. При р=0, уравнение (*) имеет вид

Характеристическое уравнение принимает вид

Корни характеристического уравнения

.

Решение (#) принимает вид

III. k₁ и k₂ - действительные равные числа .

Частные решения: ,

Общее решение: .

13.Линейные неоднородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами: нахождения частного решения подбором по виду правой части уравнения. Пусть имеем уравнение

(*)

где р и q - действительные числа.

Нахождение частного решения подбором по виду правой части уравнения. Если правая часть уравнения имеет следующий вид:

, где α и β - постоянные, Р_n(х) и Q_m(х) - многочлены от х соответственно n-й и m-й степени, тогда частное решение уравнения имеет вид:

r = показателю кратности корня в характеристическом уравнении ; R_l(х) и T_l(x) - полные многочлены от х степени l с неопределенными коэффициентами, .

.

Частные случаи f(x):

1)

2) , A – постоянная

3)

4)

5)

6) , .

Рассмотрим первый частный случай: . Тогда возможны следующие случаи:

а) Число α не является корнем характеристического уравнения

. Тогда частное решение нужно искать в виде:

Дифференцируем:

Подставим в (*):

- многочлен степени n

- многочлен степени n-1

- многочлен степени n-2

Т.о., слева и справа от знака равенства стоят многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов = n+1), получим систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов А₀, А₁, А₂, ..., А_n.

б) Число α есть простой корень характеристического уравнения.

в) Число α - двукратный корень характеристического уравнения.

14. Системы ДУ: основные определения, система ДУ нормального типа, постановка задачи Коши. Ф-ии у₁=у₁(х), у₂=у₂(х),…, у_n=у_n(х) -удовлетворяют системе ДУ, содержащих аргумент х, искомые ф-ции у₁, у₂ , …, у_n и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

- система нормального типа. Проинтегрировать систему - значит определить ф-ции у₁, у₂, …, у_n, удовлетворяющие системе уравнений нормального типа и данным начальным условиям:

Рассмотрим нормальную систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями: х=х(t), у=у(t), z=z(t).

Зададим начальные условия: .

Дифференцируем по t первое из уравнений:

Заменим производные их выражениями f₁, f₂, f₃ из уравнений (*):

Дифференцируем и аналогично предыдущему, найдем:

Запишем систему:

Определим ф-ии у=у(t), z=z(t), выразив их через х, t и производные :

(#)

Подставим эти выражения в последнее из уравнений, получим уравнение 3-го порядка для определения х=х(t):

.

Дифференцируя последнее выражение 2 раза, найдем производные как ф-ции от t, С₁, С₂, С₃.

Подставляя эти ф-ии в уравнения (#), определим у(t), z(t):

Рассмотренный метод решения нормальных систем называется методом исключения.

Теорема Коши.

Пусть функции , i=1, 2, 3 непрерывны по всем переменным в некоторой области D и имеют в этой области непрерывные частные производные:

. Тогда каковы бы ни были значения единственное решение системы , удовлетворяющее начальным условиям

.