Поверхностный тепловой потенциал.

Тепловой потенциал с плотностью называется поверхностным тепловым потенциалом (простого слоя с плотностью ),

Если - ограниченная функция в , то поверхностный тепловой потенциал существует в , принадлежит классу , представляется интегралом Пуассона:

(2.30)

Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности.

(2.31)

(2.32)

Считаем и . Предположим, что существует классическое решение этой задачи. Это значит, что , удовлетворяет уравнение (2.31) при и начальное условие (2.32) при .

Продолжая функции и нулём при , заключаем, что продолженные функции и удовлетворяют в уравнению теплопроводности:

(2.33)

Равенство (2.33) показывает, что начальное возмущение для функции играет роль мгновенно действующего источника (типа простого слоя на плоскости ) и классические решения задачи Коши (2.31) - (2.32) содержатся среди тех решений уравнения (2.33), которые обращаются в нуль при . Это даёт основание ввести следующее обобщение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Обобщённой задачей Кошидля уравнения теплопроводности с источником назовём задачу о нахождении обобщённой функции , обращающейся в нуль при и удовлетворяющей уравнению теплопроводности

(2.34)

Уравнение (2.34) эквивалентно следующему:

Для любой справедливо равенство:

(2.35)

Из уравнения (2.34) следует, что необходимым условием разрешимости обобщенной задачи Коши является обращение в нуль при .

Решение задачи Коши.

Пусть , где и - ограниченная функция в . Тогда решение соответствующей обобщённой задачи Коши существует и единственно в классе и представляется формулой Пуассона:

(2.36)

Таким образом, общее решение распределения интересующего нас потока по координате и времени в аналитическом диффузионном приближении может быть представлено в виде двух функций, одна из которых характеризует форму потока в начале координат, вторая характеризует изменения потока во времени, f(x, t)и θ(t) определяются из общей постановки задачи и индивидуальны для каждого потока.

Во многих случаях, решение можно представить в виде сумы конечного ряда:

, (2.37)

где Ф(x, t) – интеграл ошибок.

В более сложных случаях решение может быть выражено в виде бесконечных рядов, полиномов Лежандра, функции Бесселя, Ханкеля или других специализированных функций. Однако такое представление выходит за рамки нашего курса.

Численное решение уравнений переноса в диффузионном приближении.

В тех случаях, когда среду нельзя представить в виде уравнений с постоянными коэффициентами, или граничные условия нельзя представить в виде среды с бесконечно распространяющимися потоками, используют более сложную форму.

, (2.38)

где - удельная емкость исследуемого потока (теплоёмкость),

- удельная проводимость исследуемого потока (теплопроводность),

- источник потока,

- коэффициент связывающей скорость прохождения потока в веществах, имеющих различные свойства (коэффициент теплопроводности),

- скорость переноса потока.

Во многих случаях, применим набор граничных условий, который позволяет, не выясняя, что происходит на удаленных границах, ставить задачу, которая описывает процесс с качеством, достаточным для наших целей. Такая постановка особенно важна в случае моделирования процессов проходящих при высоких температурах, давлении или в средах, имеющих высокую степень агрессивности, где затруднено непосредственное измерение параметров.

В этих случаях можно предположить, что:

1. Потоки на невзаимодействующих границах просто отражаются от стенки. Такое приближение называется «зеркально отражающая граница». В этом случае предполагается, что мы можем поставить следующие граничные условия:

, (2.39)

где U^гр_+- - соответствует интенсивности прямого и отраженного потока на удаленной границе;

t_гр – время за которое поток достигает границы.

2. Все потоки на удаленной границе равны нулю – абсолютное поглощение.

=0 (2.40)

В этом случае уравнение решается численно с помощью достаточно простых сеточных методов. Однако граничные условия на взаимодействующей границе лучше выбирать, используя решение в аналитическом приближении в узкой области у границы раздела. Определение величины этой области выбирается следующим методом.

Определяется, для каких x и t нашей задачи справедливо выражение:

(2.41)

В этом случае аналитическое решение изменяется вместе с изменением входных параметров и применимо как граничное условие для более точного решения.