ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Преподаватель математики

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И СРЕДНЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«ШАХТИНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

(УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ)

Составитель:

РУДЬ Е.В.,

Преподаватель математики

Г. ШАХТЫ, 2013 год

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..2

1.Теоретические сведения некоторых разделов теории множеств

1.1. Основные понятия и определения…………………………………………..3

1.2. Способы задания множеств………………………………………….............4

1.3. Понятие подмножества………………………………………………………5

1.4. Отношения между множествами……………………………………………6

1.5. Операции над множествами ………………………………………..............7

1.6. Число элементов множества………………………………………………..9

1.7. Декартово произведение множеств………………………………………..11

1.8. Изображение декартова произведения двух числовых множеств

на координатной плоскости……………………………………………..13

1.9. Понятие отношения…………………………………………………...........15

1.10. Способы задания отношений………………………………………..........17

1.11. Свойства отношений………………………………………………………18

1.12. Понятие соответствия………………………………………………..........22

1.13. Соответствие, обратное данному…………………………………………24

1.14. Взаимно однозначные соответствия……………………………………..26

2. Практические задания к некоторым главам теории множеств

2.1. Практические упражнения по теме «Способы задания множеств.

Операции над множествами»…………………………………………….27

2.2. Практические упражнения по теме «Декартово произведение

множеств. Графическое изображение декартова произведения»……...29

2.3. Практические упражнения по теме «Отношения между элементами

множества. Способы задания отношений»……………………………...31

2.4. Практические упражнения по теме «Свойства отношений»…………...32

2.5. Практические упражнения по теме «Соответствия.

Взаимно однозначные соответствия»……………………………….......33

Литература………………………………………………………………………..35

ВВЕДЕНИЕ

Математика играет важную роль в общей системе образования. Для продуктивной деятельности в современном информационном мире требуется достаточно прочная базовая математическая подготовка.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области.

Интенсивная математизация различных областей человеческой деятельности особенно усилилась с появлением и развитием ЭВМ. Математическая грамотность человека требуется буквально на каждом рабочем месте. Это предполагает конкретные математические знания.

Математика вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию красоты и изящества математических рассуждений; развивает воображение, пространственные представления. История развития математических знаний дает возможность пополнить запас историко-научных знаний, сформировать у них представление о математике как части общечеловеческой культуры.

В данной работе излагаются элементы интуитивной теории множеств, что необходимо для понимания любого раздела математики, поскольку каждый из них основан на интуитивной теории множеств и предполагает свободное владение понятиями бинарного отношения и соответствия.

Предлагаемое пособие может быть использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения элементов теории множеств.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ НЕКОТОРЫХ РАЗДЕЛОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В русском языке для обозначения тех или иных совокупностей обычно используются различные слова. Например, говорят: стадо коров, табун лошадей, букет цветов, команда спортсменов, набор инструментов, коллекция марок и т.д. В математике стремятся к единообразию, и для обозначения совокупностей употребляется, как правило, единый термин – множество. Таким образом, множество рассматривается как совокупность предметов реального мира (или объектов нашей интуиции), обладающих общим свойством. Другими словами, множество – это совокупность предметов, сама рассматриваемая как один предмет. Дать определение множеству нельзя, можно лишь пояснить его.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел, о множестве треугольников, множестве корней уравнения и т.д.

В разговорной речи термин «множество» всегда связывается с большим числом предметов. В теории множеств это не обязательно. Будем рассматривать и бесконечные множества, и множества, содержащие любое конечное число предметов, и даже множество, не содержащее ни одного предмета, -пустое множество (обозначают знаком∅).

Объекты, из которых состоит множество, называют егоэлементами.

Произвольные множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, …, Z, A₁, A₂, …, A_n. Элементы множества обозначают строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d,…, z, a₁, a₂,…, a_n.

Отношение между элементами и множеством выражают словами: «является элементом» или «принадлежит». Предложение «Элемент a принадлежит множеству A» обозначают . Если же a не является элементом множества A, то пишут .

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Для числовых множеств используют общепринятые обозначения:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ

Множество можно считать заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество можно задать непосредственным перечислением всех его элементов в произвольном порядке. В этом случае названия всех элементов множества записывают в строку, отделяют запятыми и заключают в фигурные скобки. Каждый элемент записывают только один раз. Порядок перечисления его элементов не существенен.

Например, множество А, состоящее из всех цифр, можно записать так:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0};

Множество P букв, которые используют для записи слова «математика», записывают следующим образом:

P = {м, а, т, е, и, к}.

{1, 3, 7} и {3, 7, 1} - это одно и то же множество.

Перечислением элементов можно задать только конечное множество с небольшим числом элементов. Когда задать множество перечислением его элементов трудно или невозможно (в случае бесконечных множеств), то применяется другой способ задания множества через указание характеристического свойства его элементов.

Характеристическим свойством, определяющим множество, называется такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий данному множеству, и не обладает ни один элемент, ему не принадлежащий.

Например, запись B = {x | x Z, -2< x < 3} означает, что множество В состоит из целых чисел, больших -2 и меньших 3.

Второй способ более общий: он позволяет задавать и конечные, и бесконечные множества.

Часто одно и то же множество задано и первым, и вторым способами. Очень важно умение переходить от одного способа задания к другому.

Например, множество D натуральных чисел, меньших 7, заданное посредством указания характеристического свойства его элементов, можно задать и так: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, т.е. перечислив все его элементы.

В начальном курсе математики понятия множества и элементов множества в явном виде не изучаются, но в силу их большой общности они, по существу, пронизывают всю начальную математику. Так, при выполнении задания «Запишите числа, которые больше 65 и меньше 75» ученики встречаются с двумя способами задания одной и той же совокупности чисел. Один способ – указано свойство чисел «быть больше 65 и меньше 75», другой – числа этой совокупности перечисляются: 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74. Смысл упражнения – перейти от одного способа задания множества к другому. Аналогичные задачи приходится решать школьникам на других уроках, в частности на уроках русского языка: «Назовите все согласные буквы русского алфавита», «Подчеркните в данном упражнении все существительные», «Выпишите из текста все прилагательные» и т.д.

Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множества K = {1, 2, 3, 4} и L = {x | x N, x<5} равны.

ПОНЯТИЕ ПОДМНОЖЕСТВА

Рассмотрим множество A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Выделим из множества A те его элементы, которые являются простыми числами. Получим множество B = {2, 3, 5, 7}, все элементы которого являются элементами множества A. В этом случае говорят, что B – подмножество множества А.

Определение. Множество В называется подмножествоммножества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Обозначают .

Например, множество натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел.

Пустое множество считается подмножеством любого множества. Подмножество данного множества может и совпадать с данным множеством. Это непосредственно следует из определения подмножества данного множества.

Само множество и пустое множество называют несобственнымиподмножествами данного множества. Все остальные подмножества данного множества называютсобственными.

Например. Составить все возможные подмножества множества K = {2, 3, 5}.

Несобственные: A = {5, 3, 2}, B = ∅.

Собственные: C = {5; 2}, D = {5; 3}, E = {2, 3}, F = {5}, M = {3}, P = {2}.

Для наглядного изображения множества английский математик Джон Венн (1834 – 1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости (круги, овалы и др.). Немного раньше Леонард Эйлер (1707 – 1783) для изображения отношений между множествами использовал круги. Точки внутри круга считаются элементами множества. Позднее такие изображения получили названия диаграмм Эйлера – Венна. Мы в дальнейшем схемы для иллюстрации отношений между множествами будем называть короче – кругами Эйлера.