Задача 7. Векторы и образуют угол . Известно, что , , а скалярное произведение векторов . Найти

К а ф е д р а «Высшая математика и

прикладная информатика»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА,

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ,

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

(для заочного факультета)

Учебно-методическое пособие

по специальным разделам высшей математики

Самара 2008

УДК 517.531, 519.2

Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа (для заочного факультета):Учеб.-метод. пособ. по специальным разделам высшей математики/ Л.В. Лиманова, Л.А. Муратова; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2008. 33 с.

Представлены задачи и их решения из следующих разделов курса высшей математики: «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Математический анализ».

Для студентов заочного факультета СамГТУ.

Ил.2. Библиогр.: 6 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

В соответствии с программой курса высшей математики в 1 семестре на заочном факультете СамГТУ данная работа включает такие разделы, как линейная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное исчисление.

Работа состоит из набора типовых задач из указанных разделов с подробными решениями и необходимым теоретическим материалом. Кроме того, в приложении 1 представлен тренировочный тест с ответами для самоконтроля знаний.

Материал данной работы рекомендуется использовать для подготовки к контрольной работе и экзамену по высшей математике на заочном факультете.

ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

Задача 1. Вычислить определитель .

Решение. Определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов главной диагонали (a₁ и b₂) и побочной (b₁ и a₂), то есть

.

Поэтому .

Задача 2. Вычислить определитель .

Решение. Определитель третьего порядка можно вычислить по формуле

При этом полезна следующая схема. Первые три слагаемых – это произведения элементов, попавших на главную диагональ и в вершины двух треугольников (рис.1). Три слагаемых в скобках – это произведения элементов, попавших на побочную диагональ и в вершины двух других треугольников (рис.2).

Рис. 1 Рис. 2

Получаем

.

Задача 3. Умножить матрицу на матрицу и найти сумму элементов третьей строки результирующей матрицы.

Решение. Известно, что матрицу A размера (m − число строк, n − число столбцов) можно умножить на матрицу B размера , если n = p, причем в результате получится матрица размера . Элемент c_ij (расположен на пересечении i-й строки и j-го столбца) результирующей матрицы C вычисляется по формуле

,

то есть равен сумме произведений элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B.

В данной задаче матрицы A и B имеют размер и соответственно, и, значит, перемножаемы (n=p=2), а результирующая матрица C будет иметь размер .

Найдем c₁₁, для чего умножим поэлементно первую строку матрицы A на первый столбец матрицы B и результаты сложим:

.

Вычислим c₁₂, умножив первую строку матрицы A на второй столбец матрицы B и сложив результаты:

.

Аналогично, находим остальные элементы

, , , ,

, ,

, ,

, .

Итак,

.

При этом сумма элементов третьей строки матрицы C равна

.

Задача 4. Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y и z:

Решение. Решаем систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

~

Среди коэффициентов при неизвестных в первом уравнении есть удобная для дальнейших вычислений 1, ей соответствует переменная z. Назовем z базисной переменной. Исключим базисную переменную z из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на 2 и сложим со вторым. Получим эквивалентную исходной систему уравнений с матрицей

~

Учитывая тот факт, что в каждом уравнении выбирается одна базисная единица и по условию задачи другой базисной переменной должен быть y, получим базисную единицу во 2-м уравнении, разделив его на (-2):

~

Исключим y из первого уравнения. Для этого умножим второе уравнение на 3 и сложим с первым:

Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице

Выразив базисные переменные у и z через свободную переменную х, получим общее решение системы уравнений

Задача 5. Найти длину вектора .

Решение. Длину вектора , или его модуль можно вычислить по формуле

.

Имеем .

Задача 6. Векторы и образуют угол . Зная, что , , найти скалярное произведение векторов .

Решение. Согласно определению скалярное произведение векторов и равно

.

Поэтому получим

.

Задача 7. Векторы и образуют угол . Известно, что , , а скалярное произведение векторов . Найти .

Решение. Выразим из формулы скалярного произведения (см. задачу 6)

.

Задача 8. Вычислить скалярное произведение векторов и .

Решение. Используем формулу скалярного произведения векторов и , согласно которой

.

Так как , , то

.

Задача 9. Вычислить скалярное произведение , если известно, что , , .

Решение. Найдем векторы и :

,

.

Согласно формуле скалярного произведения (см. задачу 8) получим

.

Задача 10. Найти , при котором ортогональны векторы и .

Решение. Условием ортогональности векторов и является равенство нулю их скалярного произведения

.

Имеем ,

или , откуда .

Задача 11. Найти векторное произведение векторов .

Решение. Вычисляем векторное произведение векторов и по формуле

.

Получаем

.

Задача 12. Векторы и образуют угол . Зная, что , ,найти модуль векторного произведения векторов .

Решение. В соответствии с определением векторного произведения имеет место формула

.

Подставляя исходные данные, получим

.

Задача 13. Известно, что , и векторы и образуют угол . Найти .

Решение. Используя формулу модуля векторного произведения (см. задачу 12), найдем

.

Поэтому

.

Задача 14. Даны три вектора , , . Найти:

1) смешанное произведение векторов ;

2) объем параллелепипеда, построенного на векторах , , ;

3) объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , .

Решение. 1) Смешанное произведение векторов , , вычисляется по формуле

.

Поэтому получаем

.

2) Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , выражается через смешанное произведение и равен

3) Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , , составляет 1/6 объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах, т.е.

Задача 15. Определить , при котором компланарны векторы , , .

Решение. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

.

Приравнивая к нулю смешанное произведение векторов (см. задачу 14), получим уравнение для определения

.

Отсюда , значит .

Задача 16. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А(1; 1; 1), В(1; 2; 3), С(2; 1; −1).

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки :

.

Получим

,

,

,

,

.

Задача 17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

М(4; −1; 0) перпендикулярно вектору .

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид

.

Подставив заданные значения, получим

,

или

.

Задача 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 0; −3) параллельно плоскости .

Решение. В уравнении плоскости вида

- координаты нормального вектора – вектора, перпендикулярного к плоскости.

Таким образом, плоскость имеет нормаль .

Поскольку эта плоскость параллельна искомой, вектор будет нормалью и к искомой плоскости. Осталось воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору (см. задачу 17). Получим

,

или

.

Задача 19. Найти А и В, при которых плоскость параллельна плоскости .

Решение. Нормальные векторы заданных плоскостей (см. задачу 18) соответственно равны и . Так как плоскости параллельны, их нормали коллинеарны, а условием коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат:

Поэтому получим

.

Отсюда следует, что А = 7,5, В = −4.

Задача 20. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(−2; 7; 0) параллельно вектору .

Решение. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , имеют вид

.

Параметрические уравнения прямой можно получить, приравняв эти отношения к t

и выразив х, y и z через t:

.

Заметим, что вектор называют направляющим вектором прямой.

С учетом исходных данных задачи получаем канонические уравнения

и параметрические уравнения искомой прямой

.

Задача 21. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(4; 1; 5) параллельно прямой .

Решение. Прямая параллельна своему направляющему вектору . Но тогда вектор параллелен и искомой прямой. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (см. задачу 20), получим

.

Задача 22. Найти А и В, при которых параллельны прямые

и .

Решение. Если прямые параллельны, то их направляющие векторы и коллинеарны, значит, координаты направляющих векторов пропорциональны (см. задачу 19):

.

Отсюда следует, что А = −0,5, В = −20.

Задача 23. Определить , при котором перпендикулярны две прямые и .

Решение. Так как прямые перпендикулярны, их направляющие векторы и также перпендикулярны, но тогда скалярное произведение этих векторов равно нулю (см. задачу 10)

,

откуда .

Задача 24. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(2; −5; 1) и М₂(3; 4; −2).

Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и :

.

Получим

,

или

.

Задача 25. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; −3; 0) перпендикулярно прямой .

Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, направляющий вектор этой прямой также перпендикулярен плоскости.

Согласно уравнению плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно вектору (см. задачу 17), получим

, или

.

Задача 26. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 7; −1) перпендикулярно плоскости .

Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, нормальный вектор этой плоскости параллелен прямой. В соответствии с уравнением прямой, проходящей через точку М параллельно данному вектору (см. задачу 20), имеем

.

Задача 27. Вычислить .

Решение. При числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность . Выносим за скобки в числителе и знаменателе переменную в старшей степени и после сокращения получаем:

.

При величины , , стремятся к 0, , весь числитель стремится к , а знаменатель . Поэтому вся дробь стремится к .

Таким образом,

Задача 28. Вычислить .

Решение. При числитель и знаменатель стремятся к . Это неопределенность вида . Раскрываем ее (см. задачу 27):

.

Задача 29. Вычислить .

Решение. Так как числитель и знаменатель при стремятся к , имеем неопределенность . Раскрываем ее (см. задачу 27):

.

Поскольку при числитель стремится к 3, а знаменатель − к , вся дробь стремится к 0 и

.

Задача 30. Вычислить .

Решение. При числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида . Разложив числитель и знаменатель на множители и выполнив сокращение на множитель (х − 7), получим

.

Задача 31. Вычислить .

Решение. Так как при выражение стремится к 1, а показатель степени − к бесконечности, имеем неопределенность . Раскрываем ее с помощью второго замечательного предела

.

Считая , достраиваем выражение до второго замечательного предела и получаем

.

Задача 32. Вычислить .

Решение. Поскольку при числитель и знаменатель дроби стремятся к 0, имеем неопределенность . Воспользовавшись формулами таблицы эквивалентности [приложение 2] для бесконечно малой величины ( ):

получим при :

Заменяя числитель и знаменатель на эквивалентные бесконечно малые величины, найдем

.

Задача 33. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность . Согласно формулам таблицы эквивалентности [приложение 2] для бесконечно малой величины ( )

поэтому при : .

Тогда

.

Задача 34.Найти , если

.

Решение. Применяя формулы дифференцирования произведения и частного

,

имеем

и далее, с учетом формул дифференцирования элементарных функций [приложение 2]

получим

.

Подставим в производную х = 2:

.

Задача 35. Для функции найти .

Решение. Применим правило дифференцирования сложной функции:

если y = y(u), u = u(x), то .

В данном случае .

Поэтому [см. приложение 2]

.

Тогда

.

Задача 36. Для функции найти .

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции y = y(u), где u = u(x), имеем .

Так как , то [см. приложение 2]

.

Окончательно,

.

Задача 37. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Функция y = f(x) возрастает, если , и убывает, если . Найдем :

.

Определим знаки производной и промежутки монотонности функции

x		−1
	+		−		+		−
y

Итак, функция возрастает при и убывает при .

Задача 38. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции .

Решение. Функция выпукла, если и вогнута, если . Найдем :

,

.

Определим знаки и промежутки выпуклости и вогнутости функции

x		−2
	−		+		−		+
y

Таким образом, функция выпукла при и вогнута при .

Приложение 1

Тренировочный тест

№	Задания	Варианты ответов
1.	Вычислить	-17		-1
2.	Найти сумму элементов третьего столбца матрицы В.	-39				-9
3.	Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных x и z: .
4.	Векторы и образуют угол . Зная, что , , , найти .
	5.	Вычислить , если , ,	-19		-2
	6.	Определить , при котором ортогональны векторы и .	-5
	7.	Вычислить
	8.	Векторы и образуют угол . Найти , если , .
	9.	Если плоскость Сx+10y+4z+7=0 параллельна плоскости 3x-By+6z-1=0 , то B+C=		-13			-9

	10.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1; 4; 5) перпендикулярно прямой
	11.	Уравнение прямой, проходящей через точки А(2; -3; 5) и В(0; 4; -7), имеет вид
	12.	Уравнение прямой, проходящей через точку М(2;4;-5) параллельно прямой
	13.	Прямые и параллельны. Найти .			-9		-18
	14.	Определить, при каком перпендикулярны прямые , .	-1
15.	Вычислить
16.	Вычислить
17.	Вычислить
18.	Вычислить
19.	Вычислить , если
20.	Для функции найти
21.	Для функции найти .
22.	Найти интервалы убывания функции
23.	Найти интервалы вогнутости функции

Правильные ответы

№ задания

Ответ

№ задания
Ответ

Приложение 2

Таблица эквивалентности

Бесконечно малых

(справедлива при )