Случай корней действительных и равных

Определим момент времени, при котором кривая имеет максимум:

(3.8)

Случай корней комплексно-сопряжённых.

Определим момент времени, при котором кривая имеет максимум:

(3.9)

Характер выражения (3.6) указывает на то, что график будет представлять импульс в виде затухающей «синусоиды». Поэтому полученное выражение определяет расстояние от начала графика, и этому значению будет соответствовать максимальная амплитуда, среди всех других амплитуд полупериодов затухающей «синусоиды».

Напряжение на выходе RLC-четырёхполюсника. Переходная характеристика

Очевидно, что величина тока, характер функции i1,1'(t) не изменяться при перестановке элементов R,L,C в рассматриваемом контуре, поэтому три полученных функций тока исчерпывают возможные решения.

Если будем рассматривать напряжение на узлах 2,2', то в зависимости от того, какой элемент из перечисленных находится между этими узлами, функция напряжения будет различной при одной и той же функции тока.

Таким образом, для каждого элемента будем иметь три различные функции, представляющие напряжение на указанных узлах.

Поскольку таких элементов в рассматриваемой цепи также три, то общее число функций, представляющих множество напряжений, равно девяти.

Формирование множества напряжений будем производить таким образом: для каждого варианта схемы рассмотрим возможные функции напряжения, используя три известные функции тока.

Возможные варианты напряжения на узлах 2,2, если элементом выхода является резистивный элемент

Рис.

Пусть добротность контура меньше 0,5. Это означает, что ток i1,1'(t) будет представлять собой после замыкания ключа К экспоненциальный импульс в соответствии с (3.6).

Напряжение на узлах 2,2' найдём по формуле u_2,2'(t) = Ri_1,1'(t):

. (3,10)

Видно, что характер функции напряжения не изменяется по сравнению с функцией тока т.к. R есть положительное вещественное число.

При t = 0 напряжение на выходе равняется нулю. Объясним это состояние на основе законов коммутации.

В момент замыкания ключа К (этот момент времени примем за нуль) на узлах 1,1' напряжение скачком изменилось до величины К, но ток остаётся равным нулю. Для индуктивного элемента закон коммутации для тока (ток скачком измениться не может) имеет вид

i_L(t_0-)= i_L(t₀)= i_L(t₀₊),

а т.к. в схеме последовательное соединение , то такой же ток имеет место и для каждого другого элемента. Поскольку при t<0 ток был равен нулю, то и в момент t=0 ток равен нулю, поэтому напряжение на R также равно нулю.

Рис.

Это же подтверждает и формула (3.10), если подставить значение t=0.

Очевидно, что при t→∞, выражение обращается в нуль. Объяснение также построим на применении метода эквивалентных схем.

При t>0 схема может быть представлена эквивалентной схемой.

Источник напряжения представляем источником постоянного напряжения и при t→∞ емкостной элемент может быть представлен элементом типа «разрыв», а индуктивный – элементом типа «короткое замыкание». Ток в цепи отсутствует и напряжение на R равно нулю.

Рис.

Обратимся к случаю, когда добротность контура равна 0,5. Напряжение на узлах 2,2' можно определить в соответствии с приведенной выше формулой, используя выражение тока для корней действительных и равных:

. (3.11)

При t=0 напряжение равно нулю. Про t→∞ напряжение также стремиться к нулю. Объяснить это можно также, как это было сделано выше.

И, наконец, третий случай – добротность более 0,5:

. (3.12)

При t=0 и t→∞ напряжение нулевое. Пояснения теже.

Возможные варианты напряжения на узлах 2,2, если элементом выхода является индуктивный элемент

Рис.

Имея выражение для тока, напряжение на индуктивном элементе можно найти по формуле

Q<0,5

(3.13)

Рассмотрим крайние случаи. При t=0 напряжение на индуктивном элементе скачком меняется и делается равным E, а при t → ∞ стремится к нулю.

Первое объясняется законами коммутации: напряжение на индуктивном элементе может измениться скачком, а ток не может измениться скачком, если изменяется напряжение скачком, в данном случае, на входе цепи

Рис.

i_L(t_0-)= i_L(t₀)= i_L(t₀₊)=0.

Второе- тем, что при t>0 цепь находится под воздействием источника постоянного напряжения и при t→∞ цепь переходит в стационарное состояние и элемент L можно заменить эквивалентным элементом типа «короткое замыкание»,

Рис.

элемент С – эквивалентом типа «разрыв».

Q = 0,5

Это случай корней действительных и равных.

Напряжение на узлах 2,2' определим по формуле

(3.14)

Из формулы видно, что при t=0 напряжение на узлах 2,2' изменяется скачком, а при t→∞ стремится к нулю.

Объяснение аналогично рассмотренному выше.

Q > 0,5

Случай корней комплексно-сопрояжённых

(3.15)

Из формулы видно, что при t=0 напряжение на узлах 2,2' изменяется скачком, а при t→∞ стремится к нулю.

Объяснение аналогично рассмотренному выше.

Возможные варианты напряжения на узлах 2,2, если элементом выхода является емкостной элемент

Рис.

В данном случае можно поступить как и в предыдущих двух - использовать оператор связи между током и напряжением, заданными как функции времени. Однако, интегрирование создаст большее число необходимых алгебраических операций для приведения формул к виду удобному для непосредственного анализа.

В выражении (3.1) имеется операторное представление для тока, которое можно использовать для получения напряжения на элементе С на основе произведения

,

из которого, применив таблицы перехода, перейдём во временную область.