Элементы векторной алгебры. Задача 9. (8.16 [1]) Найти косинус угла между векторами .

Задача 9. (8.16 [1]) Найти косинус угла между векторами .

Решение.Известно, что .

, .

, тогда , что приблизительно равно 0,5, то есть угол чуть больше 60⁰.

Ответ. cos = 9/19.

Задача 10. Найти скалярное и векторное произведение векторов:

и .

Решение. .

Для поиска векторого произведения запишем определитель.

= = .

Ответ. Скалярное: 16, векторное: (-13, -1, -8).

Задача 11. Дано: , , , , угол между векторами 45 градусов. Найти .

Решение. = = .

Примечание. Как видим, можно вычислять скалярное произведение, даже не зная коорднат векторов. Здесь фактически служат в качестве базисных векторов, и через них выражены , то есть (1,1) и (2,1) координаты относительно базиса .

Ответ. .

Практика № 6 (23 сентября у обеих групп).

45 минут - продолжение темы «скалярное, векторное, смешанное проиведение». Повторение перед контрольной.

Задачи 1,2,3.

Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 град.

Задача 1. Найти . Задача 2. Найти | [a,b] |.

Задача 3. Найти

Решение задачи 1.

= = .

Это мы раскрыли скобки, используя свойства скалярного произведения. Далее, так как то объединим их, и получим .

Это можно выразить так:

и получаем . Ответ. 29.

Решение задачи 2.

= =

Несмотря на то, что скобки мы раскрыли похожим образом, дальше будет существенное отличие, т.к. свойства векторного произведения совсем другие, чем скалярного. Так, , но . Кроме того, чтобы объединить в одно слагаемое, здесь надо сначала у одной из них сменить знак.

= =

= . Модуль векторного произведения и это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так:

= = = 50. Ответ. 50.

Решение задачи 3.

= = = =

= =

= = 257. Ответ. 257.

Задача 4. (8.19 [1]) Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен .

Решение.Вычислим площадь с помощью векторного произведения. = = =

= = = 92. Ответ 92.

Задача 5. Вывод формулы проекции вектора на ось .

Во-первых, .

(чертёж с доски)

Во-вторых, длина проекции это катет, гипотенуза треугольника, поэтому . Получается, что , то есть , откуда и следует .

Задача 6. (8.18 [1]) Найти проекцию вектора на ось .

Решение. = = . Ответ. 2.

Задача 7. Найти смешанное произведение трёх векторов:

.

Решение.Вычислим определитель:

= = . Ответ. .

Домашнее задание.Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰.

№ 1. Найти . № 2. Найти | [a,b] |.

45 минут - контрольная работа. Темы:

1. Умножение матриц

2. Определитель (3-го порядка).

3. Обратная матрица (3-го порядка).

4. Ранг матрицы.

Практика № 7

Подробный разбор домашних задач по скалярному и векторному произведению).

Задача 1.Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰. Найти .

Решение. = = = =

= =

= 1227.

Ответ.1227.

Задача 2.Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰. Найти | [a,b] |.

Решение.| [a,b] | = =

= =

= = = .

Ответ. .