ПОШАГОВОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ. Пример решения задачи 1

Пример решения задачи 1

Заданы координаты вершин А(35,35,60), В(5,10,15) и С(60,5,25) треугольника АВС, лежащего в основании пирамиды SАВС. Требуется определить истинную величину треугольника АВС.

Для решения задачи необходимо преобразовать плоскость основания в плоскость уровня.

Последовательность решения задачи способом вращения вокруг линии уровня такова:

1. Строим проекции основания пирамиды (рисунок 3а) по заданным координатам.

2. Строим проекции h₁ и h₂ горизонтали h плоскости АВС (рисунок 3б).

3. Определяем центр О и радиус R окружности, по которой будет вращаться вершина А треугольника АВС.

3.1. Для определения центра окружности:

– опускаем перпендикуляр из горизонтальной проекции А₁ вершины А треугольника АВС на горизонтальную проекцию h₁ (точка О₁ рисунок 3б). Отрезок А₁О₁ – есть горизонтальная проекция радиуса окружности по которой перемещается точка А;

– строим фронтальную проекцию O₂A₂ радиуса R вращения точки вершины А.

3.2. Истинную величину радиуса R определим способом прямоугольного треугольника. Для этого:

– построим перпендикуляр из точки А₁ к отрезку А₁О₁;

– отложим на этом перпендикуляре разность аппликат Z_A-Z_O (точка К₁) и получим отрезок О₁К₁ равный истинной величине радиуса R.

а) б) в

Рис. 3

4. Строим истинную величину АВС основания пирамиды в следующей последовательности.

4.1. Определяем новое положение точки А. Для этого радиусом R= О₁К₁ проводим дугу окружности до пересечения с перпендикуляром (рисунок 3в).

4.2. Определяем новое положение точки В после поворота основания АВС, как результат пересечения прямой А₁1₁ с линией связи В₁В₂.

4.3. Соединяем точки С₁, , и получаем истинную величину основания пирамиды (рис. 3в).

Пример решения задачи 2

По условию задачи заданы координаты вершин S(50,50,10), А(35,35,60), В(5,10,25), С(60,5,25) пирамиды SАВС. Необходимо определить расстояние от вершины S до основания АВС пирамиды.

Для решения задачи необходимо преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость основания заняла проецирующее положение. Рассмотрим последовательность решения задачи способом вращения вокруг проецирующей прямой.

1. Строим по заданным координатам точек проекции основания АВС и вершины S пирамиды SАВС (рис. 4а).

2. Строим проекции h₁ и h₂ горизонтали h основания АВС пирамиды (рисунок 4а).

3. Строим проекции i₁, i₂ оси I вращения, проходящей через точку S и перпендикулярно плоскости проекций П₁.

4. Поворачиваем треугольник АВС относительно центра вращения (вершины пирамиды S) в такой последовательности (рис. 4б):

– строим перпендикуляр S₁М₁ из вершины S₁ к h₁.

– поворачиваем горизонтальную проекцию А₁В₁С₁ без изменения размеров и формы до положения, когда h₁ будет перпендикулярна оси Х (рис. 3б), при этом все точки горизонтальной проекции треугольника перемещаются по окружностям, а фронтальные проекции перемещаются по линиям параллельным оси Х. Построение треугольника в новом положении понятно из рисунка 3в (построение треугольника по заданным сторонам);

– достраиваем фронтальную проекцию треугольника. Для этого из вершин треугольника А₁В₁С₁ проводим линии связи перпендикулярные оси Х, а из вершин А₂В₂С₂

– линии связи параллельные оси Х до пересечения в точках и . Соединяем полученные точки прямой линией (рис. 4б).

а) б) в)

Рис. 4

– определяем расстояние от вершины S до основания АВС пирамиды, построив перпендикуляр S_{2 2} из точки S₂ на вырожденную проекцию треугольника АВС.

Пример решения задачи 3

Заданы координаты вершин трехгранной пирамиды S(50,50,10), А(35,35,60), В(5,10,25) и С (60,5,25). Требуется определить расстояние между ребрами ВС и АS пирамиды SАВС.

Для решения задачи необходимо одну из прямых преобразовать в проецирующую прямую. Задачу можно решить способом замены плоскостей проекций так:

1. Cтроим проекции прямых (ребер пирамиды) SА и ВС по заданным координатам (рис. 5а).

2. Преобразуем комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения ВС стала прямой уровня (рисунок 5б). Для этого выбираем дополнительную плоскость проекций Π₄^Π₁ так, чтобы она была параллельна ребру ВС, при этом новая ось Х₁₄ ІІ В₁С₁. Строим проекции В4С4 и S₄А₄ прямых ВС и SА на Π₄. Для этого:

– проводим из точек А₁, В₁, С₁ и S₁ линии связи перпендикулярно оси Х₁₄;

– замеряем аппликаты (координаты по оси Z) точек А, В, С, S;

– откладываем их от оси Х₁₄ на новых линиях связи (точки А₄, В₄, С₄ и S₄).

3. Преобразуем комплексный чертеж так, чтобы прямая уровня ВС стала проецирующей прямой (рис. 5в). Для этого выбираем плоскость Π₅^Π₄ таким образом, чтобы она была перпендикулярна ребру ВС, т.е. Х₄₅^В₄С₄. Для этого:

– проводим из точек А₄, В₄, С₄ и S₄ линии связи перпендикулярно оси Х₄₅;

– замеряем расстояние от точек А₁, В₁, С₁ и S₁ до оси Х₁₄;

– откладываем замеренные расстояния на новых линиях связи от оси Х₄₅. Прямая ВС вырождается в точку, так как перпендикулярна плоскости П₅.

а) б) в)

Рис. 5

4. Определяем расстояние между прямыми. Для этого опускаем перпендикуляр из вырожденной проекции прямой ВС на ребро S₅А₅ до пересечения в точке N₅. Длина отрезка М₅N₅ равна расстоянию между ребрами пирамиды.

5. Достраиваем недостающие проекции отрезка NМ (рис. 5в).

Пример решения задачи 4

Заданы координаты вершин трехгранной пирамиды SАВС А(35,35,60), В(5,10,25), С(60,5,25), S(50,50,10). Определить истинную величину двугранного угла, образованного гранями ABC и ABD при ребре ВС.

Для решения задачи следует прямую ВС преобразовать в проецирующую прямую.

Задачу решим способом плоско-параллельного перемещения.

1. Строим проекции двугранного угла по заданным координатам (рис. 6а).

2. Преобразуем двугранный угол так, чтобы ребро ВС стало линией уровня, например, параллельным плоскости П₁. (рис. 6б). Для этого:

– переносим на свободное место горизонтальную проекцию ребра ВС параллельно оси Х (без изменения размеров);

– достраиваем горизонтальные проекции граней SВС и АВС.

– достраиваем фронтальную проекцию двугранного угла (рис. 6б).

3. Преобразуем двугранный угол так, чтобы ребро ВС стало перпендикулярным оси Х, т.е. ÖОХ (рис. 6в). Для этого:

– строим фронтальную проекцию двугранного угла на свободном месте так, чтобы ÖХ;

– достраиваем фронтальную и горизонтальную проекции граней SАВ и САВ. Грани двугранного угла проецируются в линии, что позволяет произвести измерение угла между двумя гранями.

а) б) в)

Рис. 6

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какие задачи относятся к метрическим задачам?

2. Какие основные способы преобразования комплексного чертежа применяются при решении метрических задач?

3. Назовите четыре основные задачи преобразования комплексного чертежа.

4. Сформулируйте лонгометрические свойства пар геометрических элементов.

5. Сформулируйте основные гониометрические свойства пар геометрических элементов.

6. Сформулируйте обобщенный алгоритм решения метрических задач с преобразованием комплексного чертежа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения этого задания студенты должны уметь:

– применять четыре способа преобразования комплексного чертежа к решению метрических задач;

– определять проекции и натуральную величину расстояний и углов между парами геометрических элементов (точкой, прямой и плоскостью).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Середа В.Г. Начертательная геометрия. Практикум для студентов: учеб. Пособие / В.Г. Середа, А.Ф. Медведь. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2008. – 121 с.

2. Задачи и задания по начертательной геометрии. Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по дисциплине «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» для студентов технических специальностей всех форм обучения / Сост. В.Г. Середа, А.Ф. Медведь. – Севастополь: СевНТУ, 2005. – 44 с.

3. Метрические задачи. Методические указания к самостоятельной работе студентов. /Сост. Логуненко М.Н. – Севастополь: КМУ СПИ, 1989. 422с.

Моделирование метрических

Характеристик объектов

методические указания

Составители: СередаВладимир Григорьевич

Медведь Анатолий Феодосьевич

Технический редактор – Р.В. Дмитриева

Подписано к печати 25.12.15. Изд. № 39/15. Зак. 385/ 2015. Тираж 200 экз.

Объем 2,5 п.л. Усл. печ. л. 2,32. Уч.-изд. л. 2,46.

Формат бумаги 60 х 84 1/8

РИИЦМ ФГаоУВО «Севастопольский государственный университет»