Проверка статистических гипотез

ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Задание 1

Требуется вычислить значения выборочных среднего , медианы , дисперсии s², среднего квадратического отклонения s и коэффициента вариации ν ряда значений: 408, 404, 399, 412, 420, 418, 400, 413, 416, 417, 396, 409, 401, 395, 398, 370

i	xi	Предварительные расчёты: = 6476; = 2623490. Выборочное среднее значение (2.1): = = 404,75. Выборочная медиана (2.3): = (404+ 408) = 406. Выборочная дисперсия (2.5): s2 = = = = 155,267. Смещённая оценка среднего квадратического отклонения (2.6): s = = 12,4606. Несмещённая оценка среднего квадратического отклонения (2.8) и таблица 2.1: s1 = 1,017 · 12,4606=12,6724. Выборочный коэффициент вариации (2.7): ν = = = 0,03131.

Выборочная медиана при нечётном объеме выборки n = 2m – 1 равна среднему члену вариационного ряда:

= x_m,

(2.3)

Выборочная дисперсия

s² = , (2.4)

или

s² = . (2.5)

Выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочный коэффициент вариации

s = , (2.6)

ν = . (2.7)

Вычисление выборочных моментов третьего и четвёртого порядков при объёме п < 50 нецелесообразно в связи с их большими вероятными отклонениями от генеральных моментов.

Задание 2

Вычислить значения статистик, указанных в примере 2.1, и выборочные значения показателей асимметрии и эксцесса для случайной величины x = lgN. Ряд значений N, Производим логарифмирование и формируем вариационный ряд:

i	N	xi = lgN	i	N	xi = lgN	i	N	xi = lgN	i	N	xi = lgN
	74133,6	4,8700			5,2085			5,4638			5,5922
	83019,5	4,9192			5,2114			5,4654			5,5963
		5,0238			5,2311			5,4712			5,6102
		5,0407			5,2621			5,4721			5,6476
		5,0447			5,3126			5,4850			5,6479
		5,0466			5,3321			5,4982			5,6744
		5,0665			5,3698			5,4991			5,8173
		5,0818			5,3756			5,5186			5,8652
		5,0840			5,3821			5,5208			5,8720
		5,1080			5,3839			5,5221			5,8980
		5,1100			5,3848			5,5231			5,9054
		5,1200			5,3927			5,5438			5,9112
		5,1203			5,3976			5,5471			5,9192
		5,1255			5,4085			5,5584			5,9302
		5,1621			5,4095			5,5609			5,9548
		5,1701			5,4103			5,5613			6,0826
		5,1761			5,4225			5,5660			6,1684
		5,1816			5,4336			5,5661			6,2604
		5,1907			5,4350			5,5799			6,2776
		5,1966			5,4628			5,5829			6,4587

Определяем размах варьирования логарифма:

R = 6,458679992– 4,87001509= 1,5886649.

Размах разбиваем на равные интервалы.

Δ_x ≈ = = 0,1765183

За длину интервала принимаем Δ_x = 0,18

Таблица 2.3

e	Границы интервала	Середина интервала xj	Число наблюдений nj
	4,870	5,050	4,96
	5,050	5,230	5,14
	5,230	5,410	5,32
	5,410	5,590	5,50
	5,590	5,770	5,68
	5,770	5,950	5,86
	5,950	6,130	6,04
	6,130	6,310	6,22
	6,310	6,490	6,40

Предварительные расчёты:

= 436,8; = 2393;

= 13156; = 72599.

Выборочное среднее значение (2.10):

= = 5,4595.

Выборочная медиана (2.3):

= (5,4627+ 5,4638) = 5,4633.

Выборочная дисперсия (2.12):

s² = = 0,1050.

Выборочное среднее и выборочный коэффициент вариации (2.6) и (2.7):

s = = 0,3240; ν = = 0,0593.

Для вычисления выборочных показателей ассиметрии и эксцесса по формулам (2.13) определяем оценки начальных моментов первых четырёх порядков:

h₁ = 5,4560; h₂ = 29,91;

h₃ = 164,45; h₄ = 907,49.

и по формулам (2.14) – оценки центральных моментов третьего и четвёртого порядка

m₃ = 0,0227;

m₄ = 0,0347.

Выборочные показатели ассиметрии и эксцесса

= = 0,6680722; = –3 = 0,1516.

Задание 3

По данным примера 2.2 произвести оценку математического ожидания и среднего квадратического отклонения при условии, что испытания прекращали при достижении базы N_б = 0,5·10⁶ циклов, т.е. x_б = lg N_б = 5,6990.

По таблице 2.2 находим m = 66 и по формуле (2.20) вычисляем:

W = = 0,175.

По формуле (2.21)

y = = 0,6716.

По таблице 2.5 для W = 0,175 и y = 0,6716 путём линейной интерполяции находи u = –0,984.

По таблице 2.6 находим

φ₁(–0,984) = 1,4456

По формуле (2.23) производим оценку среднего квадратического отклонения s = 0,2675

По формуле (2.22) производим оценку математического ожидания

= = 5,69897– 0,984 · 0,2675 = 5,4357.

Задание 4

По результатам примера 2.1 определить 90 %-ные доверительные интервалы для генерального среднего значения, если = 404,75; s = 12,4606.

По таблице 2.6 для k = 16 – 1 = 15 и α = 0,1 находим t_0,1 = 1,7535.

На основании формулы (2.26)

404,75 – 1,7535 < a < 404,75 + 1,7535;

399,2876 < a < 410,2124

В случае цензурированной выборки доверительный интервал для доверительной вероятности Р = 1 – α приближённо определяют из выражения

(2.27)

Задание 5

По результатам таблицы 2.2 определить 90 %-ные доверительные интервалы для генерального среднего значения, если = 5,4357; s = 0,2675; u = –0,9842 (см. пример 2.3).

Для α = 0,1 по таблице 2.7 находим

z_0,05 = -1,282;

z_0,95 = 1,282.

По найденному в примере 2.3 u = –0,9842 по таблице 2.6

φ₂(0,9842) = 1,054.

На основании (2.27)

5,4357– 1,282 < a < 5,4357+ 1,282

5,3963< a < 5,4750

Доверительный интервал для генеральной дисперсии σ² с доверительной вероятностью Р = 1 – α

. (2.28)

Обычно принимают Р₁ = α/2 и Р₂ = 1 – Р₁ = 1 – α/2.

Границы доверительных интервалов для генерального среднего квадратического отклонения σ находят путём извлечения квадратного корня из значений доверительных границ для генеральной дисперсии.

Задание 6

По результатам примера 2.1 определить 90 %-ные доверительные интервалы для генеральных дисперсии и среднего квадратического отклонения, если s² = 155,2667 .

По таблице 2.9 для k = n – 1 = 15 находим

χ_0,05² = 25;

χ_0,95² = 7,26.

На основании (2.28)

155,2667 < σ² < 155,2667 ;

93,16< σ² < 320,7989;

9,651943< σ < 17,91086.

В случае цензурированной выборки доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения приближённо определяют из выражения

< σ < . (2.29)

Задание 7

В условиях примера 2.2 определить 90 %-ные доверительные интервалы для генерального среднего квадратического отклонения значения логарифма, если s = 0,2675 и u = –0,9842

Для α = 0,1 по таблице 2.7 находим

z_0,05 = -1,282

z_0,95 = 1,282

φ₃(u) = φ₃(–0,9842) = 0,6707

На основании (2.35)

< σ < ;

0,2394< σ < 0,3031

Задание 8

Определить необходимый объём испытаний образцов с целью оценки среднего значения, если α = 0,05 и Δ_a = 0,07. Данные о коэффициенте вариации при аналогичных испытаниях отсутствуют.

Задаёмся коэффициентом вариации γ = 0,03. По таблице 2.7 для p = 1-0,05/2=0,975 находим z_0,975 = 1,96 и по формуле (2.31) определяем

n = 1,96² ≈ 0, 71

Принимаем

n = 1

Если цель планируемых испытаний – оценка среднего квадратического отклонения характеристики, то объём выборки определяют методом подбора по формуле

(1 + Δ_σ)² = , (2.35)

где Δ_σ – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке среднего квадратического отклонения случайной величины при нормальном законе распределения; χ²_α/2 и χ²_0,5 – квантили уровня Р = α/2 и Р = 0,5 статистики χ² (таблица 2.9).

Значение ошибки Δ_σ следует выбирать в зависимости от требований к точности оценки среднего квадратического отклонения характеристики. При низкой точности принимают Δ_σ = 0,4 … 0,5, при средней точности Δ_σ = 0,25 … 0,35 и при высокой точности Δ_σ = 0,1 … 0,2.

При n ≥ 15 для определения объёма выборки вместо (2.35) можно воспоьзоваться приближённой формулой

n = 1,5 + , (2.36)

Задание 9

Определить минимально необходимый объём испытаний с целью оценки среднего квадратического отклонения, если α = 0,05 и Δ_σ = 0,6.

Подсчитываем левую часть уравнения (2.36)

(1 + Δ_σ)² = (1 + 0,6)² = 2,56

По таблице 2.10 для различных k = n – 1 вычисляем отношения χ²_0,05 и χ²_0,5, выбираем такое значение k = n – 1, при котором отношение указанных величин будет меньше или равняться значения левой части уравнения (2.35).

Для k = 1

= = 7,648352

Для k = 3

= = 3,299578

Для k = 4

= = 2,824405

Для k = 5

= = 2,551724

Окончательно принимаем n = k + 1 = 6

При использовании формулы (2.36) получаем

n = 1,5 + = 6, 84

Если в результате испытаний планируется одновременная оценка и среднего значения, и среднего квадратического отклонения контролируемой характеристики с заданной точностью и надёжностью, то объём испытаний определяют как наибольшее из двух значений n, найденных по формулам (2.31) – (2.33) и (2.35) – (2.36).

Для этой цели могут быть также использованы таблицы 2.10 и 2.11.

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Задание 1

По результатам примера 2.1 проверить нулевую гипотезу о принадлежности последнего образца вариационного ряда той же генеральной совокупности, как и остальные образцы.

= 404,75

s = 12,4606

u_n = = = 1,223857.

u_n = 1,223857< u_α=2,44

Заключение: нулевая гипотеза не отклоняется, т.е. результат x₂₀ = 420 не является следствием грубой ошибки эксперимента.

Задание 2

По результатам испытания 18 образцов произведена оценка дисперсии s² = 126,9. Проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что выборка взята из генеральной совокупности с дисперсией σ²₀ = 100 против альтернативной σ² > σ²₀.

Вычисляем левую часть неравенства (3.3):

= =1,269

Задаёмсяα = 0,05 и по таблице 2.10 находим для k = n – 1 = 17

χ²_0,05 = 27,6

Вычисляем правую часть соотношения (3.3)

= = 1,269

Заключение: неравенство (3.3) не выполняется, следовательно, применяют альтернативную гипотизу.

Задание 3

Определить минимальный объём выборки для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий с помощью двустороннего критерия (3.5), если α = 0,05; β = 0,07 и Δσ = 0,3

По таблице 2.8 находим z_1–β = z_0,9 = 1,282; z_1–α/2 = z_0,975 = 1,96.

На основании формулы (3.7) определяем

n = 1,5 + 0,5 ≈ 75

Критерий равенства дисперсий двух генеральных совокупностей. Пусть по результатам испытаний двух независимых выборок объёмом n₁ и n₂ из нормально распределённых совокупностей подсчитаны оценки дисперсий, причём s²₁ > s²₂. Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что указанные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями, т.е. σ²₁ = σ²₂ = σ² при альтернативной гипотезе σ²₁ ≠ σ²₂. С этой целью используют двусторонний F-критерий (критерий Фишера), для чего находят статистику

F = при s²₁ > s²₂. (3.8)

И сопоставляют с критическим значением F_1–α/2, представленным в 3.3

Если

F = ≤ F_1–α/2, (3.9)

то гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, т.е. σ²₁ = σ²₂ = σ², не отклоняют.

В случае невыполнения неравенства (3.9) нулевую гипотезу отвергают.

При альтернативной гипотезе σ²₁ > σ²₂ используют односторонний критерий

F = ≤ F_1–α, (3.10)

если неравенство выполняется, то нулевую гипотезу не отвергают. В противном случае принимают σ²₁ > σ²₂.

В случае подтверждения нулевой гипотезы σ²₁ = σ²₂ = σ² по двум выборочным дисперсиям производят новую оценку генеральной дисперсии σ²:

s² =

Задание 4

В результате испытаний двух партий 30 образцов и 20 образцов соответственно найдены выборочные средние значения и дисперсии предела прочности сплава. α = 0,1.

= 47; s₁² = 88.

= 45; s₂² = 105

Требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий предела прочности материала при альтернативной гипотезе σ²₁ ≠ σ²₂.

В соответствии с соотношением (3.10)

F = = 0,8381.

Для принятого уровня значимости α = 0,1; k₁ = n₁ – 1 = 27 и k₂ = n₂ – 1 = 29 по таблице 3.3 находим

F_1–α/2 = F_0,95 = 1,8751 и сопоставляем с вычисленным значением

F = 0,8381< F_0,95 = 1,8751

Заключение: дисперсии однородны.