Возникновение циклов
При увеличении l больше 3 поведение системы (14.2) вновь изменяется: в последовательности 
начиная с достаточно больших номеров n, будут чередоваться два числа - 
и 
т.е. при 
Причём, эти числа связаны соотношениями:
Будем говорить, что в этом случае отображение (14.2) имеет устойчивый цикл с периодом 2, и обозначим этот цикл 
(см. рисунок). Наличие цикла означает, что численность популяции будет меняться с периодом в 2 характерных интервала.
Переход от неподвижной точки, которую можно считать циклом 
к циклу произошёл в результате бифуркации, называемой бифуркацией удвоения периода. Неподвижная точка 
(14.4) при этом не исчезла, однако условие устойчивости (14.6) для неё перестало выполняться. Значение l = 3 есть точка бифуркации удвоения периода.
При дальнейшем увеличении l в последовательности 
возникает цикл 
(см. рисунок):
причём
Численность популяции начинает колебаться с периодом в 4 характерных интервала.
Последовательно увеличивая значение параметра l, мы получим циклы 
и т. д. При этом в каждой точке бифуркации цикл 
теряет устойчивость, а цикл 
становится устойчивым. При значении 
формула (14.2) даёт уже непериодическую последовательность 
Таким образом, в рассматриваемой системе (14.2) удаётся проследить большое количество бифуркаций, приводящих к усложнению решения.
|