Основные операции над матрицами
Составил: Лебедев В. Н.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ
Направление подготовки
030300.62 «Психология»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Казань - 2013
Тема 1 Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
Лекция 1.1 «Матрицы и операции над ними. Системы линейных алгебраических уравнений»
Учебные вопросы:
1. Матрицы. Основные операции над матрицами
2. Определители и их свойства. Обратная матрица
3. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение СЛАУ методами обратной матрицы и Крамера
Матрицы. Основные операции над матрицами
Таблицу
называют (прямоугольной) матрицей размера 
. Элементы 
называются элементами матрицы; элемент расположен в 
-й строке и в 
-м столбце матрицы; 
есть число строк, а 
–число столбцов.
Пример. Матрица 
имеет размер 
, 2 строки и 3 столбца.
Если в матрице число строк равняется числу столбцов 
(матрица размера 
), то матрицу называют квадратной матрицей порядка . Квадратная матрица 
=( ) называется:
симметричной относительно главной диагонали, если = 
;
диагональной, если =0 при 
(все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю);
треугольной (наддиагональной), если =0 при 
(все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю);
строго треугольной, если =0 при 
(все элементы, стоящие на главной диагонали и ниже ее, равны нулю).
Пример. Матрица 
- квадратная 3-го порядка; матрица
- симметричная относительно главной диагонали; матрица 
- диагональная; матрица 
- треугольная (наддиагональная); матрица 
- строго треугольная.
Единичной матрицей 
называется диагональная матрица с единичными диагональными элементами:
, где 
Пример. Матрица 
- единичная матрица 2-го порядка.
Матрица размера 
называется столбцом, а матрица размера 
– строчкой.
Нулевой матрицей 
размера называется матрица этого размера, все элементы которой равны нулю.
Пример. Матрица 
- нулевая матрица размера .
Матрицей, транспонированной по отношению к матрице =( ) размера , называется матрица 
=( 
) размера 
(столбцы матрицы являются строками матрицы с теми же номерами).
Пример. Пусть 
. Транспонированной матрицей будет
.
Основные операции над матрицами
Две матрицы =( ) и 
=( 
) равны друг другу, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т. е.
,
если
=
для всех 
и 
.
Сумма двух матриц =( ) и =( ) размера есть матрица 
=( 
) размера , у которой элементы являются суммой соответствующих элементов матриц слагаемых, т. е.
,
если
= +
для всех и .
Произведение матрицы =( ) размера на число 
есть матрица 
размера , у которой элементы равны соответствующим элементам матрицы 
, умноженным на :
= ( )=( ).
Пример. Даны матрицы 
и 
. Найти матрицу 
.
◄ 
= 
= 
=
= 
= 
. ►
Вычитание матриц 
можно выполнять либо вычитанием соответствующих элементов матриц, либо, как в приведенном примере, через прибавление противоположнойматрицы – 
(– 
):
= 
.
Произведение матрицы =( ) размера 
на матрицу =( )размера 
есть матрица =( ) размера
( 
)( 
) 
( ),
где
= 
.
Таким образом, элемент матрицы 
есть сумма произведений элементов 
-й строки матрицы 
на соответствующие элементы 
-го столбца матрицы 
. В каждом произведении матриц 
форма матриц 
и 
должна быть согласованной: число столбцов 
матрицы должно равняться числу строк матрицы . Из существования произведения вовсе не следует существование произведения 
.Если существуют оба произведения и (это, в частности, будет всегда, если и – квадратные матрицы одного порядка), то, вообще говоря, 
.
Пример. Даны матрицы 
и 
. Найти .
◄ = 
=
= 
= 
. ►
Для операций над матрицами справедливы следующие соотношения
( 
, 
– числа, , , 
– матрицы, 
– единичная матрица):
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
( 
– квадратная матрица).