Основные операции над матрицами
Составил: Лебедев В. Н.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ
Направление подготовки
030300.62 «Психология»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Казань - 2013
Тема 1 Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
Лекция 1.1 «Матрицы и операции над ними. Системы линейных алгебраических уравнений»
Учебные вопросы:
1. Матрицы. Основные операции над матрицами
2. Определители и их свойства. Обратная матрица
3. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение СЛАУ методами обратной матрицы и Крамера
Матрицы. Основные операции над матрицами
Таблицу
называют (прямоугольной) матрицей размера . Элементы
называются элементами матрицы; элемент
расположен в
-й строке и в
-м столбце матрицы;
есть число строк, а
–число столбцов.
Пример. Матрица имеет размер
, 2 строки и 3 столбца.
Если в матрице число строк равняется числу столбцов (матрица размера
), то матрицу называют квадратной матрицей порядка
. Квадратная матрица
=(
) называется:
симметричной относительно главной диагонали, если =
;
диагональной, если =0 при
(все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю);
треугольной (наддиагональной), если =0 при
(все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю);
строго треугольной, если =0 при
(все элементы, стоящие на главной диагонали и ниже ее, равны нулю).
Пример. Матрица - квадратная 3-го порядка; матрица
- симметричная относительно главной диагонали; матрица
- диагональная; матрица
- треугольная (наддиагональная); матрица
- строго треугольная.
Единичной матрицей называется диагональная матрица с единичными диагональными элементами:
, где
Пример. Матрица - единичная матрица 2-го порядка.
Матрица размера
называется столбцом, а матрица размера
– строчкой.
Нулевой матрицей размера
называется матрица этого размера, все элементы которой равны нулю.
Пример. Матрица - нулевая матрица размера
.
Матрицей, транспонированной по отношению к матрице =(
) размера
, называется матрица
=(
) размера
(столбцы матрицы
являются строками матрицы
с теми же номерами).
Пример. Пусть . Транспонированной матрицей
будет
.
Основные операции над матрицами
Две матрицы =(
) и
=(
) равны друг другу, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т. е.
,
если
=
для всех и
.
Сумма двух матриц =(
) и
=(
) размера
есть матрица
=(
) размера
, у которой элементы являются суммой соответствующих элементов матриц слагаемых, т. е.
,
если
=
+
для всех и
.
Произведение матрицы =(
) размера
на число
есть матрица
размера
, у которой элементы равны соответствующим элементам матрицы
, умноженным на
:
=
(
)=(
).
Пример. Даны матрицы и
. Найти матрицу
.
◄ =
=
=
=
=
. ►
Вычитание матриц можно выполнять либо вычитанием соответствующих элементов матриц, либо, как в приведенном примере, через прибавление противоположнойматрицы –
(–
):
=
.
Произведение матрицы =(
) размера
на матрицу
=(
)размера
есть матрица
=(
) размера
(
)(
)
(
),
где
=
.
Таким образом, элемент матрицы
есть сумма произведений элементов
-й строки матрицы
на соответствующие элементы
-го столбца матрицы
. В каждом произведении матриц
форма матриц
и
должна быть согласованной: число столбцов
матрицы
должно равняться числу строк матрицы
. Из существования произведения
вовсе не следует существование произведения
.Если существуют оба произведения
и
(это, в частности, будет всегда, если
и
– квадратные матрицы одного порядка), то, вообще говоря,
.
Пример. Даны матрицы и
. Найти
.
◄ =
=
= =
. ►
Для операций над матрицами справедливы следующие соотношения
( ,
– числа,
,
,
– матрицы,
– единичная матрица):
,
,
,
,
,
,
,
,
(
– квадратная матрица).