Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов.

Способ задания вектора его координатами. Разложение вектора по базису.

Вектор может быть задан:

1. Координатами вектора α=(a_x;a_y;a_z)

2. Координатами начальной А(x₁;y₁;z₁) и конечной B(x₂;y₂;z₂) точек.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Теорема. Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Базисом пространстваназывают такую систему векторов в которой все остальные векторы пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов, входящих в базис.
На практике это все реализуется достаточно просто. Базис, как правило, проверяют на плоскости или в пространстве, а для этого нужно найти определитель матрицы второго, третьего порядка составленный из координат векторов. Ниже схематически записаны условия, при которых векторы образуют базис
Чтобы разложить вектор b по базисным векторам
e[1],e[2]...,e[n] необходимо найти коэффициенты x[1], ..., x[n] при которых линейная комбинация векторов e[1],e[2]...,e[n] равна вектору b:
x1*e[1]+ ... + x[n]*e[n] = b.
Для этого векторное уравнение следует преобразовать к системе линейных уравнений и найти решения. Это также достаточно просто реализовать.
Найденные коэффициенты x[1], ..., x[n] называются координатами вектора b в базисе e[1],e[2]...,e[n].
Перейдем к практической стороне темы.

Скалярное произведение двух векторов заданных их модулями и направлениями.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов и на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначают или

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из векторов на проекцию второго вектора на направление первого.

Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны

Скалярное произведение двух векторов заданных их координатами.

Координатный вид скалярного произведения векторов

a * b=a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z

Свойства скалярного произведения и его приложения.

Св-ва:

1. a*b=b*a

2. (a+b)*c=a*c+b*c

3. (k*a)*b=k(a*b)

4. Условие ортогональности 2-ух векторов а⊥b ⇔ a*b=0

5. Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме а ∥ b⇔ a_x/b_x=a_y/b_y=a_z/b_z

Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов.

Ортогональность двух векторов-это ничто иное как их перпендикулярность
Условие ортогональности двух векторов:
Т. о. , для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.