Метод рационализации неравенств
Отметим, что нестандартность этого метода заключается в том, что его изучение не входит в школьную программу, и он отсутствует в учебниках для общеобразовательной школы. Часть подобных неравенств могла быть решена сведением к совокупности двух систем.
При решении логарифмических неравенств метод рационализации опирается на следующее утверждение.
Утверждение 1.Знак выражения совпадает со знаком выражения , где , .
В частности, знак выражения совпадает со знаком выражения , а знак выражения совпадает со знаком выражения .
Доказательствопроведем в два этапа.
1. Пусть т.е. причем
. ( )
Если число то по свойству убывающей логарифмической функции имеем . Значит, выполняется система неравенств
откуда следует неравенство верное на области определения выражения
Если число то . Следовательно, имеет место неравенство
Обратно, если выполняется неравенство на области ( ), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств
и
Из каждой системы следует неравенство
т.е.
Аналогично, рассматриваются неравенства вида
2.Пусть некоторое число и тогда имеем
.
Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
или
Пример 19. (ЕГЭ 2011). Решить неравенство
Решение. 1-й способ. Область определения неравенства задается системой
Отсюда получаем, что данное неравенство определено при всех значениях
.
Используем рационализацию последнего неравенства
.
Отсюда решения . Учитывая ОДЗ, находим окончательно .
Решение. 2-й способ. Множество – область определения данного неравенства.
Приведем данное неравенство к виду
или
.
Так как знак выражения совпадает со знаком выражения ([1], стр. 22), то получим
.
Последнее неравенство имеет решения . С учетом ОДЗ получим .
Ответ: .
Пример 20.Решить неравенство
.
Решение. Область определения неравенства задается системой
или
Учитывая, что при выражение положительно, преобразуем данное неравенство на его области определения
.
Для решения последнего неравенства используем метод рационализации:
.
Ответ. .
Используем метод рационализации еще к одному виду логарифмических неравенств ([1], стр. 22).
Утверждение 2.Знак выражения совпадает со знаком выражения , где , .
Доказательство. Так как
то, используя рационализацию неравенств, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
или
.
Решим выше рассмотренный пример 6.
Пример 21.Решить неравенство
.
Решение.Данноенеравенство приведем к следующему виду
,
которое равносильно системе неравенств
.
Ответ: .
Метод оценки
Иногда неравенство устроено так, что на всей ОДЗ неизвестной имеют место неравенства и при некотором А. В этом случае:
а) решение неравенства сводится к нахождению тех значений , для которых одновременно и ;
б) решение неравенства сводится к нахождению тех решений неравенства , для которых определена функция .