Тема: Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела. Законы сохранения.

Цель: обобщение и систематизация знаний, умений по данной теме; формирование практических навыков в решении задач; развитие интереса к изучению физики

Краткие теоретические сведения

Таблица 2.1 – Основные законы и формулы

Физические законы, формулы, переменные	Формулы
Ускорение при криволинейном движении: 1) нормальное где R – радиус кривизны траектории, 2) тангенциальное,3) вектор полного ускорения,4) модуль полного ускорения.	1) ,2) , 3) ,4)
1) угловое перемещение . 2) угловая скорость : где dt – интервал времени. 3) угловое ускорение : Единицы измерения: ; ; .	2) ; 3) .
Равномерное вращение: 1) период вращения Т: 2) частота вращения ν: Единицы измерения: ;	1) ; 2) .
Равноускоренное вращение β=const: 1) уравнение углового перемещения где ω0 – начальная угловая скорость 2)уравнение угловой скорости: где R – радиус – расстояние от центра вращения до материальной точки; 3) нормальное ускорение: 4) тангенциальное ускорение: 5)полное ускорение:	1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) .
Связь линейной υ и угловой скорости ω:	,
1)Момент инерции J материальной точки относительно оси вращения: где mi– масса точки, ri – расстояние от оси вращения до материальной точки; 2) Момент инерции системы (тела) относительно оси вращения:[1]	1) ; 2) .
Теорема Штейнера: где JZ– момент инерции относительно произвольной оси Z, JC– момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С, а – расстояние между осями.
1)Кинетическая энергия вращения ЕВР: где JZ - момент инерции тела относительно произвольной оси Z; ω – угловая скорость материальных точек тела. 2)Полная кинетическая энергия тела: ЕК – кинетическая энергия поступательного движения тела, m– масса тела, υ –скорость тела.	1) ; 2) .
1) Момент силы : где – радиус – вектор, проведенный в точку приложения силы ; 2) Модуль момента силы: где α – угол между векторами и , l – плечо силы.	1) ; 2) .
Основное уравнение динами вращательного движения твердого тела: где – момент силы, J – главный момент инерции тела( момент инерции относительно главной оси), – угловое ускорение.
1) Импульс тела: 2) Закон сохранения импульса	1) ; 2)
1)Момент импульса материальной точки : где – радиус – вектор, - импульс точки, m – масса, –скорость точки, 2) Момент импульса твердого телаотносительно оси Z: где mi – масса отдельной части твердого тела, υi –скорость частицы, – радиус – вектор, ω – угловая скорость, JZ - момент инерции тела относительно произвольной оси Z, 3) Закон сохранения момента импульса:	1) , 2) , 3)
Работа силы F: где Fs – проекция силы на ось, направленную вдоль движения, S – модуль перемещения, α - угол между вектором силы и направлением перемещения
Мощность N: dA – элементарная работа, dt – интервал времени, – вектор силы, - перемещение, - скорость тела.
Кинетическая энергия К: m – масса тела; υ – скорость.
Потенциальная энергия П: 3) тела, поднятого над землей на высоту h; 4) упруго деформированной пружины, жесткостью k.	1) ; 2)
Закон сохранения энергии:
КПД (коэффициент полезного действия): где Апол - полезная работа, Азат - затраченная работа.

Примеры решения задач

1. Материальная точка движется по окружности радиусом 1 м согласно уравнению . Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени t = 2с.

Дано:

,

R = 1м,

t = 2с.

Найти:

υ – ?

а_τ – ?

а_n – ?

а –?

Решение

Рисунок 2.2

Скорость движения материальной точки равна первой производной от перемещения во времени тогда,

,

Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости во времени,

,

Нормальное ускорение определяется по формуле

,

Вектор полного ускорения равен геометрической сумме векторов и . Модуль ускорения же,

;

;

Ответ: , , ,

2.Точка начинает двигаться по окружности радиуса R=16 м с тангенциальным ускорением a_τ=10 м/с². 1)Чему равно полное ускорение точки через три секунды t=3с после начала движения? Решение поясните рисунком.2)Чему равна величина угловой скорости и углового ускорения при этом движении в этот момент времени?

Дано:

R = 16 м

t= 3 с

a_τ = 10 м/с²

Найти:

а=?

ω=?

ε=?

Решение:

Рисунок 2.6

1) Полное ускорение а можно определить по тереме Пифагора.

Нормальное ускорение

где υ – скорость через t= 3 с. Из формулы равноускоренного движения

,

где υ – скорость точки, υ₀ – начальная скорость точки, тогда

2)Угловая скорость ω равна

.

Угловое ускорение β

.

Ответ: , ,

3.Колесо, вращаясь равноускорено, достигло угловой скорости ω=20 рад/с и через N=10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение β колеса.

Дано:

ω=20 рад/с,

N=10

Найти:

β – ?

Решение

Запишем уравнения движения для равноускоренного вращательного движения:

,

где φ – угловое перемещение, ω₀ – начальная угловая скорость, β – угловое ускорение;

,

где ω – угловая скорость.

Так как по условию задачи ω₀ = 0, тогда уравнения движения примут вид:

, (1)

, (2)

Выразим из уравнения (1) угловое ускорение ε

. (3)

С другой стороны , где N – число оборотов колеса, тогда уравнение (3) можно записать в виде:

. (4)

Из уравнения (2) выразим время t

,

подставим в (4)

,

отсюда

,

,

.

Ответ:

4.Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v₁ точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше скорости v₂ точки, лежащей на расстоянии r=5 см ближе к оси колеса.

Дано:

,

r=5 см = 5·10^-2м.

Найти:

R– ?

Решение

Рисунок 2.7

Поскольку угловые скорости всех точек колеса одинаковы, то величины линейных скоростей будут определяется выражениями:

, ,

где R – радиус колеса, тогда отношение линейных скоростей

.

Преобразуем выражение:

,

,

,

отсюда

.

Ответ: .

5. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за время 1 мин частоту вращения от 300 об/ мин до 180 об/мин. Найти число оборотов, сделанных колесом за это время.

Дано:

t = 1 мин =60 с,

ν₁ = 300 об/ мин = 5 об/с,

ν₂ = 180 об/мин = 3 об/с.

Найти:

N– ?

Решение

Число оборотов N, сделанных колесом за время t:

,

где φ – угол поворота за время t, равный при равнозамедленном движении

,

ω₀ – начальная угловая скорость, β – угловое ускорение.

,

,

тогда

,

.

Ответ:

6.Тонкий стержень длиной k=40 см и массой m= 0,6 кг вращается вокруг своей оси, проходящей через середину стержня, перпендикулярно его длине. Уравнение вращения стержня , где А=1 рад/с; В=0,1 рад/с³. Определите вращающий момент М в момент времени t = 2 с.

Дано:

k=40 см = 0,4 м,

m= 0,6 кг,

,

А=1 рад/с,

В=0,1 рад/с³,

t = 2 с.

Найти:

М – ?

Решение

Согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела:

, (1)

где М – вращающий момент, β – угловое ускорение, J – момент инерции стержня.

Момент инерции прямого тонкого стержня длиной k, вращающегося вокруг своей оси, проходящей через середину стержня

. (2)

По определению угловая скорость

.

Угловое ускорение

.

В момент времени t = 2 с, , тогда с учетом (2)

,

,

.

Ответ: .

7.Чему равен момент инерции J тонкого прямого стержня длиной L=0,5 м и массой m=0,2 кг относительно оси, перпендикулярной к его длине и проходящей через точку стержня, которая удалена на l=0,15 м от одного из его концов.

Дано:

L=0,5 м

m=0,2 кг

l=0,15 м

Найти:

J-?

Решение:

Рисунок 2.8

Момент инерции стержня находим по теореме Штейнера.

,

где J – моментинерции тела относительно произвольной оси, J_C– моментинерции относительно параллельной оси проходящей через его центр масс, m – масса стержня, а – расстояниемежду осями.

Момент инерции стержня

,

где L – длина стержня.

Тогда,

.

Ответ: J = 6·10^-3кг·м².

8.Шар скатывается по наклонной плоскости с углом наклона α=30⁰. Какую скорость v будет иметь центра шара относительно наклонной плоскости через t=1,5 с. Если его начальная скорость была равно нулю?

Дано:

α=30⁰,

t=1,5 с,

υ₀ = 0 м/с.

Найти:

υ– ?

Решение:

По закону сохранения энергии

где − момент инерции шара, − связь линейной и угловой скорости,h=lsinα, − так как движение происходит под действием постоянной силы, то движение равноускоренное.

После подстановки

Учтем, что , после замены, имеем

Ответ:

9.Маховик вращается по закону φ = 10 t + t³ (рад). Момент инерции маховика 5 кг·м². Определить момент силы, действующий на маховик, в момент времени 1с.

Дано:

φ = 10 t + t³рад,

J=5 кг·м²,

t=1c,

Найти:

М=?

Решение:

Из основного уравнения динамики для вращательного движения

,

где момент инерции J, β – угловое ускорение.

,

Тогда момент силы

Н

Ответ: М=30 Н·м.

10.Однородный стержень длиной l=1 м и массой m=0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если на него действует момент сил М=98,1мН·м?

Дано:

l=1 м,

m=0,5 кг,

М=98,1мН·м = 98,1·10^-3Н·м.

Найти:

β– ?

Решение

Из основного уравнения динамики вращательного движения момент сил равен:

где J – момент инерции стержня, относительно оси, проходящей через его середину,

,

тогда

,

,

.

Ответ:

10.Колесо радиуса 0,2 м с равномерно распределенной по ободу массой 5 кг вращается относительно неподвижной оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр, так, что зависимость угла поворота колеса от времени задается уравнением j = 5+4t²–t³ (рад). Определить для момента времени t = 1 с момент импульса L колеса; момент M действующей силы; кинетическую энергию T колеса.

Дано:

R = 0,2 м,

m = 5 кг,

j = 5+4t²–t³ (рад),

t = 1 с.

Найти:

L – ?

M – ?

T – ?

Решение

Угловая скорость w вращения равна первой производной от угла поворота по времени:

(рад/с),

для момента времени t = 1 с

.

Угловое ускорение e вращения равно первой производной от угловой скорости по времени:

,

для момента времени t = 1 с

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса R_i, со скоростью υ_i, перпендикулярной радиусу. Момент импульса отдельной частицы равен

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

,

где J – момент инерции тела относительно главной оси,

, тогда

,

,

.

На основании основного уравнения динамики вращательного движения

,

,

Кинетическая энергия колеса (диска)

,

,

.

Ответ: , , .

11.Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R= 1м вращается с угловой частотой ν₁= 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой ν₂ будет вращаться платформа, если человек опустит руки, уменьшит свой момент от J₁=2,94 до J₂=0,98 кг·м²? Считать платформу однородным диском.

Дано:

m = 80 кг,

R= 1м,

ν₁= 20 об/мин = 1/3 об/с,

J₁=2,94 кг·м²,

J₂=0,98 кг·м².

Найти:

ν₂ – ?

Решение

Момент импульса платформы и человека с расставленными руками

,

Момент инерции платформы

Угловая скорость

Момент импульса платформы и человека с опущенными руками

Закон сохранения момента импульса

,

тогда

Частота вращения

Ответ:

12. Молот массой m₁=200 кг падает на поковку, масса m₂ которой вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость u₁ молота в момент удара равна 2 м/с. Найти: кинетическую энергию молота в момент удара; энергию, переданную фундаменту; энергию, затраченную на деформацию поковки; КПД удара молота о поковку. Удар считать абсолютно неупругим.

Дано:

m₁=200 кг,

m₂ = 2500 кг,

u₁ = 2 м/с.

Найти:

Т₁ – ?

Т – ?

η – ?

Решение.

Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле:

.

Запишем закон сохранения импульса при неупругом ударе:

,

где u₂ – скорость поковки перед ударом, u- скорость молота и поковки после удара. Так как наковальня с поковкой покоились, то u₂=0. Следовательно,

.

Энергия, переданная фундаменту, равна кинетической энергии системы после удара:

.

На деформацию поковки идет разность кинетических энергий:

Т = Т₁ - Т₂ = 370 Дж.

КПД удара равно отношению энергии, потраченной на деформацию поковки, к первоначальной энергии, т.е.

.

Ответ: 400 Дж; 29,6 Дж; 370 Дж; 92,6%.