Система массового обслуживания с ожиданием

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru

Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru с Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . Время обслуживания одной заявки Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru - показательное, с параметром Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru будем считать случайным и распределенным по показательному закону

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ,

где параметр Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru - величина, обратная среднему сроку ожидания:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ; Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru .

Параметр Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru полностью аналогичен параметрам Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru и Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru .

Очевидно, при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru она превращается в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные состояния системы будут:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru - ни один канал не занят (очереди нет),

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru - занят ровно один канал (очереди нет),

………

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru - занято ровно Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru каналов (очереди нет),

………

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru - заняты все Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru каналов (очереди нет),

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru - заняты все Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru каналов, одна заявка стоит в очереди,

………

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru - заняты все Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru каналов, Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru заявок стоят в очереди,

………

Число заявок Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru

Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . Действительно, в состояние Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru система с отказами может перейти только из состояния Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru не только из Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , но и из Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим дифференциальное уравнение для Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . Зафиксируем момент Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru и найдем Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru - вероятность того, что система в момент Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru будет в состоянии Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . Это может осуществиться тремя способами:

1) в момент Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru система уже была в состоянии Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , а за время Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);

2) в момент Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru система была в состоянии Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , а за время Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru перешла в состояние Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru (пришла одна заявка);

3) в момент Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru система была в состоянии Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru перешла в Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).

Имеем:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ,

откуда

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru .

Вычислим теперь Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru при любом Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru - вероятность того, что в момент Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru все Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru каналов будут заняты и ровно Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:

1) в момент Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru система уже была в состоянии Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , а за время Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru стоящих в очереди заявок не ушла);

2) в момент Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru система была в состоянии Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , а за время Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru перешла в состояние Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru (т. е. пришла одна заявка);

3) в момент Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru система была в состоянии Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , а за время Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru перешла в состояние Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).

Следовательно:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ,

откуда

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru .

Таким образом, мы получили для вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru (19.10.1)

Уравнения (19.10.1) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru при возрастании Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.

15. Выведем формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ). Из уравнений (19.10.1), полагая все Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru (19.10.2)

К ним нужно присоединить условие:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.3)

Найдем решение системы (19.10.2).

Для этого применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru подставим во второе, и т. д. Для любого Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , как и в случае системы с отказами, получим:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.4)

Перейдем к уравнениям для Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . Тем же способом получим:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ,

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ,

и вообще при любом Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.5)

В обе формулы (19.10.4) и (19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . Определим ее из условия (19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru и Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , получим:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ,

откуда

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.6)

Преобразуем выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru и Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru «приведенные» плотности:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru (19.10.7)

Параметры Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru и Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.

В новых обозначениях формулы (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ; (19.10.8)

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ; (19.10.9)

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.10)

Подставляя (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ; (19.10.11)

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.12)

Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru того, что заявка покинет систему необслуженной.

15. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru числа заявок, находящихся в очереди:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.13)

Чтобы получить Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , нужно Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru и разделить на среднюю плотность заявок Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , т. е. умножить на коэффициент

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru .

Получим:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.14)

Относительная пропускная способность системы характеризуется вероятностью того, что заявка, попавшая в систему, будет обслужена:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru .

Очевидно, что пропускная способность системы с ожиданием, при тех же Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru и Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , будет всегда выше, чем пропускная способность системы с отказами: в случае наличия ожидания необслуженными уходят не все заявки, заставшие Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru каналов занятыми, а только некоторые. Пропускная способность увеличивается при увеличении среднего времени ожидания Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru .

Непосредственное пользование формулами (19.10.11), (19.10.12) и (19.10.14) несколько затруднено тем, что в них входят бесконечные суммы. Однако члены этих сумм быстро убывают.

Посмотрим, во что превратятся формулы (19.10.11) и (19.10.12) при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru и Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . Очевидно, что при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru система с ожиданием должна превратиться в систему с отказами (заявка мгновенно уходит из очереди). Действительно, при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru формулы (19.10.12) дадут нули, а формулы (19.10.11) превратятся в формулы Эрланга для системы с отказами.

Рассмотрим другой крайний случай: чистую систему с ожиданием Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . В такой системе заявки вообще не уходят из очереди, и поэтому Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru : каждая заявка рано или поздно дождется обслуживания. Зато в чистой системе с ожиданием не всегда имеется предельный стационарный режим при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . Можно доказать, что такой режим существует только при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , т. е. когда среднее число заявок, приходящееся на время обслуживания одной заявки, не выходит за пределы возможностей Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru -канальной системы. Если же Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , число заявок, стоящих в очереди, будет с течением времени неограниченно возрастать.

Предположим, что Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , и найдем предельные вероятности Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru для чистой системы с ожиданием. Для этого положим в формулах (19.9.10), (19.9.11) и (19.9.12) Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . Получим:

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ,

или, суммируя прогрессию (что возможно только при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru ),

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.15)

Отсюда, пользуясь формулами (19.10.8) и (19.10.9), найдем

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru , (19.10.16)

и аналогично для Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.17)

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется из формулы (19.10.13) при Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru :

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru . (19.10.18)

16.

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru

Средняя длина очереди (среднее число заявок, находящихся в очереди):

Система массового обслуживания с ожиданием - student2.ru или Lоч

Наши рекомендации