Методические указания по разделу «Определение оптимальных параметров

экономической системы путем математического моделирования»

На первом этапе следует по статистическим данным найти оценки неизвестных параметров линейной корреляционной зависимости цены от равновесного спроса :

Оценки параметров обозначаются символами . Студентам разрешается находить эти оценки, как аналитически, так и используя специальные программы на ЭВМ.

Необходимые основы теории корреляционной зависимости и аналитический метод нахождения оценок приведены в приложении 2.

В результате аналитических расчетов или, проводя идентификацию уравнения регрессии с помощью ЭВМ, студент получает оценки . В дальнейшем, эти оценки используются в качестве приближенных значений коэффициентов . Заключительная часть работы опирается на исследование функции прибыли:

где , .

.

Поскольку все параметры данной функции теперь известны, студент, используя методы, известные из курса математического анализа, исследует данную функцию на экстремум. Должна быть найдена точка максимума, соответствующая неотрицательному значению . Обязательным является доказательство того, что найденная точка экстремума является именно точкой максимума. Это доказательство можно провести по первому или по второму достаточному признаку точки максимума [2].

В результате должен быть найден оптимальный объем выпуска рассматриваемой фирмы в условных единицах и ее максимальная прибыль в условных денежных единицах.

Приложение 1

Исходные данные для задачи определения параметров

Функции спроса

- номер варианта курсовой работы.

Таблица 1

Статистические данные зависимости цены Р от спроса

(от объема выпуска ).

	Q
	Р(Q)	19,1	17,8	17,1	15,9	15,2	13,9	13,3	11,4	11,3
	Р(Q)	22,8	21,4	18,8	17,3	14,4	13,3	11,5		7,5
	Р(Q)	30,3	28,4	28,3	26,9	26,2	24,9	24,2	22,6	22,2
	Р(Q)	32,8	30,4	26,8	24,5		18,5	14,9	12,2	8,9
	Р(Q)	30,3	27,4	26,3	24,4	21,2	20,4	17,7	16,6	13,7
	Р(Q)	35,9	35,2	34,9	33,3	31,4	31,3	30,2	28,6	28,2
	Р(Q)	31,7	29,6	25,7	23,4	19,2	17,4	14,3	10,4	8,3
	Р(Q)	37,5		33,5	32,6	28,8	28,6	25,7	24,6	21,7
	Р(Q)	43,3	41,4	41,3	39,9	39,2	37,9	37,5		35,5
	Р(Q)	48,7	47,6	44,7	43,3	40,4	39,3	37,4	34,2	33,4
	Р(Q)	49,4	46,2	39,4	35,7	28,6	25,7	19,8	15,4	9,8
	Р(Q)	47,8	42,4	41,8	37,4	36,2	31,4	28,9	26,2	22,9
	Р(Q)	48,3	46,4	46,3	44,8	44,4	42,8	42,1	40,8	40,1
	Р(Q)	56,6	50,8	48,6	43,7	40,6	35,7	32,7	26,6	24,7
	Р(Q)	59,2	56,6	49,2	45,9	38,2	35,9	28,8	27,4	18,8
	Р(Q)	68,4	65,2	64,4	61,7	60,6	57,7	56,3	53,4	52,3
	Р(Q)	70,9	69,8	68,9	68,3	66,4	66,3	64,8	64,4	62,8
	Р(Q)	72,6	67,8	66,6	62,6	60,8	56,6	54,7	49,6	48,7
	Р(Q)	79,8	75,4	75,8	72,1	72,8	68.1	67,3	64,4	63,3
	Р(Q)	84,9	84,2	76,9	74,7	68,6	66,7	62,8	56,4	54,8
	Р(Q))	92,1	89,8	88,1	85,8	84,4	81,8	80,6	76,8	76,6
	Р(Q)	88,8	85,4	74,8	69,9	60,2	55,9	46,7	43,6	32,7
	Р(Q)	94,3	84,4	82,3	73,5		61,5	58,5		46,5
	Р(Q))	99,6	95,8	95,6	93,1	90,8	89,1	87,2	84,6	83,2
	Р(Q)	106,5		98,5	94,8	88,4	86,8	81,6	78,8	73,6
	Р(Q)	101,6	99,8	95,6	93,6	88,8	87,6	84,1	80,8	78,1
	Р(Q)	105,2	93,6	89,2	79,2	73,6	63,2	56,9	46,2	40,9

В данной таблице первая строка, в которой указано значение Q, относится ко всем вариантам работы, каждая из остальных строк относится только к своему варианту работы, который указан в первом столбце.

Приложение 2

Корреляционная зависимость случайных величин (стр 190, 191)

Корреляционной называют зависимость, которая проявляется в том, что изменение одной из случайных величин влечёт изменение среднего значения другой случайной величины. Как измерить степень зависимости случайных величин? Когда на лекциях студенты изучают формулу дисперсии суммы двух зависимых случайных величин (которая не равна сумме дисперсии), то исследует математическое ожидание.

Назовём эту величину корреляционным моментом (или коэффициентом ковариации от английского слова covariance). Очевидно, что Этот коэффициент является измерителем связи случайных величин, так как для независимых случайных величин он равен нулю, для случайных величин, имеющих тенденцию колебаться в одну сторону положителен, а для случайных величин, обладающих закономерностью колебаться в противоположные стороны, отрицателен.

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин, что неудобно: сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин затруднительно. Этот недостаток устраняется введением коэффициента корреляции:

Величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин (в отличие от ковариации), а для независимых случайных величин коэффициент корреляции, как и ковариации, равен нулю.

Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы, поскольку абсолютная величина корреляционного момента не превышает среднего геометрического дисперсии двух случайных величин.

Случайную функцию g называют наилучшим приближенным к случайной величине Y (в смысле среднего квадратического отклонения), если математическое ожидание принимает наименьшее возможное значение, а функцию , которая доставляет искомый минимум, называют среднеквадратической регрессией Y на X.

С помощью необходимого и достаточного условия экстремума (в многомерном случае, - критерия Сильвестра) выводится уравнение линейной квадратической регрессии Y на X:

где

. – центрированные случайные величины, математическое ожидание которых равно нулю.

Коэффициент называют коэффициентом регрессии Y на X, а прямую – прямой среднеквадратической регрессии Y на X:

Находим, что и достигается этот min при ; β=r .

Величину называют остаточной дисперсией: она характеризует величину ошибки, которую допускают при замене нелинейной функции Y(X) на линейную .

При “крайних” значениях коэффициента корреляции r= остаточная дисперсия , следовательно, не возникает ошибки при представлении Y в виде линейной функции от X, а величины Y и X связаны линейной функциональной зависимостью.

Аналогичен вид линейной среднеквадратической регрессии X на Y:

, где – коэффициент регрессии X на Y.

Обе прямые регрессии проходят через точку – центр совместного распределения X, Y и при совпадают.

Таким образом, для набора значений двух переменных , которые изображаются точками на декартовой плоскости, задача “подгонки” функции под линейную зависимость задаются формулой:

Если данные корреляционной таблицы, при значительном числе наблюдений, среди которых могут быть повторяющиеся, свидетельствуют о криволинейной корреляции, то функции регрессии Y на X могут иметь вид:

(параболическая корреляция)

(гиперболическая корреляция)

(экспоненциальная корреляция)

Для определения такого вида функции строят точки и по их расположению делают заключение о примерном виде функции регрессии. При окончательном выборе зависимости принимают во внимание, как экономические соображения неформального характера, так и критерии минимизации остаточной дисперсии для решаемой задачи.

Приложение 3