Элементарные преобразования матриц.

Определение 1.Элементарными преобразованиями матриц будем называть следующие преобразования:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на одно и то же число, отличное от нуля.

Обозначение для строк: Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Для столбцов: Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

2) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

Обозначение для строк: Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Для столбцов: Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

3) перемена местами двух строк (столбцов).

Обозначение для строк: Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Для столбцов: Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Если матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получена из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru с помощью элементарных преобразований, то будем записывать это так: Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Лемма 1. Элементарные преобразования третьего типа равносильны нескольким последовательно выполненным преобразованиям первых двух типов.

Доказательство. Пусть матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получилась из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате перемены местами Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой и Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки, т.е. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Покажем, что матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru может быть получена из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате элементарных преобразований только первых двух типов.

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Таким образом, получили матрицу Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , что и требовалось доказать. Совершенно аналогично это утверждение доказывается для столбцов.

Лемма 2.Элементарные преобразования матриц обратимы, т.е. если Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , то и Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru Доказательство. Если матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получилась из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате умножения всех элементов Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки на число Элементарные преобразования матриц. - student2.ru ,т.е. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru то и матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получается из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате умножения всех элементов Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки на число Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , т.е. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Если матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получилась из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате прибавления к элементам Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru соответствующих элементов Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки, умноженных на число Элементарные преобразования матриц. - student2.ru ,т.е. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru то и матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получается из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате прибавления к элементам Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru соответствующих элементов Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки, умноженных на число Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , т.е. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Если матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получилась из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате перемены местами Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой и Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки, т.е. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , то матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru также получается из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru результате перемены местами Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой и Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки, т.е. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , и лемма 2 доказана. Совершенно аналогично это утверждение доказывается для столбцов.

Лемма 3.Если Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , то Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Доказательствопроведём лишь для элементарных преобразований над строками, т.к. при транспонировании ранг матрицы не меняется. Пусть Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Мы хотим доказать, что Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . По следствию к лемме 2 §10 это будет доказано, если мы докажем, что все миноры ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru равны 0. В силу леммы 1 это достаточно доказать лишь для случая, когда матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получена из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru с помощью элементарных преобразований 1-го и 2-го типа.

1)Пусть матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получилась из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате умножения всех элементов Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки на число Элементарные преобразования матриц. - student2.ru

и пусть Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - минор ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Могут представиться следующие случаи:

а) Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ая строка не входит в состав минора Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Тогда Элементарные преобразования матриц. - student2.ru как минор ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

б) Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ая строка входит в состав минора Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Тогда Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , где Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - минор ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , стоящий в строках и столбцах с теми же номерами, что и Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Здесь мы воспользовались свойством 5 определителей. Следовательно, Элементарные преобразования матриц. - student2.ru как минор ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , т.к. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Отсюда получаем: Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

2) Пусть матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получилась из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате прибавления к элементам Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки соответствующих элементов Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ой строки, умноженных на число Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , и пусть Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - минор ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Могут представиться следующие случаи:

а) Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ая строка не входит в состав минора Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Тогда Элементарные преобразования матриц. - student2.ru как минор ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

б) и Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ая, и Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ая строки входят в состав минора Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Тогда:

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru ,

т.к. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - минор ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Здесь мы воспользовались свойством 7 определителей.

в) Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ая строка входит, а Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - ая строка не входит в состав минора Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Тогда:

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru

Здесь мы воспользовались свойствами 6 и 5 определителей.

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - минор ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Определитель Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в общем случае не является минором ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , т.к. выделенная строка может оказаться не на «своём» месте. Определитель Элементарные преобразования матриц. - student2.ru отличается от некоторого минора ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru )-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru только порядком строк, и потому Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Лемма 3 доказана.

Проиллюстрируем на примере рассуждение пункта в) доказанной леммы 3.

Пример. Пусть матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru получилась из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате прибавления к элементам 1-ой строки соответствующих элементов 3-ей строки, умноженных на число 2:

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Рассмотрим Элементарные преобразования матриц. - student2.ru - минор 2-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , стоящий в первых 2-х столбцах и в строках с номерами 1 и3

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru

Определитель Элементарные преобразования матриц. - student2.ru не является минором матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , т.к. строки стоят в другом порядке, но определитель Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , отличающийся от предыдущего только порядком строк, является минором 2-го порядка матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru и потому равен 0, т.к. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Теорема 1. В результате элементарных преобразований ранг матрицы не меняется, т.е. если Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , то

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Доказательство.Пусть Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Тогда по лемме3 Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Элементарные преобразования обратимы (по лемме 2). Следовательно, в этом случае матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru может быть получена из матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru в результате элементарных преобразований, и по лемме 3 получаем: Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Таким образом, Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , и теорема доказана.

Теорема 2.Любая матрица с помощью элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановки столбцов, может быть преобразована в трапециевидную.

Доказательство.Если матрица нулевая,то она трапециевидная по определению, и доказывать нечего.

Если она ненулевая, то она содержит ненулевой элемент, который с помощью перестановки строк и столбцов можно переместить в левый верхний угол. Поэтому будем считать, что Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Пусть матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru имеет следующий вид:

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Совершим следующие элементарные преобразования над строками:

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Если матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , то уже получили трапециевидную матрицу.

В противном случае с помощью перестановки последних Элементарные преобразования матриц. - student2.ru Элементарные преобразования матриц. - student2.ru строк и последних Элементарные преобразования матриц. - student2.ru столбцов добьёмся того, чтобы элемент, стоящий во 2-ом столбце и во 2-ой строке был бы отличен от нуля. Поэтому будем считать, что Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Теперь совершим следующие элементарные преобразования над строками:

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Если Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , то получили трапециевидную матрицу.

В противном случае продолжим этот процесс до тех пор, пока в нескольких последних строках все элементы не будут равны 0, т.е. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , или пока не исчерпаем все строки. В результате получим трапециевидную матрицу.

Следствие. Любая матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru строения Элементарные преобразования матриц. - student2.ru ранга Элементарные преобразования матриц. - student2.ru с помощью элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановки столбцов, может быть преобразована в матрицу вида:

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Если Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , то последние нулевые строки отсутствуют. Если Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , то эта матрица имеет вид: Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Доказательство. Из доказанной теоремы следует, что матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru с помощью указанных преобразований может быть преобразована в матрицу

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , причём Элементарные преобразования матриц. - student2.ru для всех Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Совершим следующие элементарные преобразования над строками:

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Теперь с помощью Элементарные преобразования матриц. - student2.ru -ой строки получим в Элементарные преобразования матриц. - student2.ru -ом столбце в строках с номерами Элементарные преобразования матриц. - student2.ru нули. Для этого от

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru -ой строки отнимем Элементарные преобразования матриц. - student2.ru -ю, умноженную на Элементарные преобразования матриц. - student2.ru ( Элементарные преобразования матриц. - student2.ru ).В результате получим матрицу:

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Теперь действуя аналогично Элементарные преобразования матриц. - student2.ru -ой строкой получим нули в Элементарные преобразования матриц. - student2.ru -ом столбце в строках с номерами Элементарные преобразования матриц. - student2.ru и т.д.

Замечание. Можно доказать, что если базисный минор матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru стоит в первых Элементарные преобразования матриц. - student2.ru столбцах, то можно получить матрицы указанного вида совершая элементарные преобразования только над строками.

Покажем это на примере.

Пример.

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru Элементарные преобразования матриц. - student2.ru

Элементарные преобразования матриц. - student2.ru . Матрица Элементарные преобразования матриц. - student2.ru имеет такое же строение, как и матрица, рассмотренная в следствии. Здесь единичная матрица имеет порядок 3, т.к. Элементарные преобразования матриц. - student2.ru , роль матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru выполняет матрица, стоящая в последних двух столбцах и первых трёх строках матрицы Элементарные преобразования матриц. - student2.ru .

Наши рекомендации