Определенный интеграл и его приложения»

Воронеж

Утверждено научно-методическим советом

Математического факультета 28.05.03.

Составитель: Каплан А.В.

Практикум подготовлен на кафедре теории функций и геометрии

математического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 1 курса биолого-почвенного факультета

(отделение агрохимии и почвоведения).

От составителя.

Настоящий практикум содержит условия контрольных работ по курсу «Высшая математика» для студентов 1 курса отделения агрохимии и почвоведения биолого-почвенного факультета.

В течение учебного года студенты выполняют 6 контрольных работ: работы №№ 1 – 3 выполняются в первом семестре, работы №№ 4 – 6 – во втором.

Номера «своих» вариантов студенты узнают на практических занятиях. Для более полного и глубокого усвоения учебного материала рекомендуется выполнить несколько заданий из «чужих» вариантов.

Каждое задание должно быть выполнено на отдельном одинарном листе, все задания вкладываются в двойной лист, на первой странице которого студент указывает фамилию и имя, номер группы и номер своего варианта. Кроме того, на этой странице заготавливается решетка для оценок (первая строка – номера заданий, вторая – пустые клетки для оценок).

Образец:

Выполнение всех работ на оценку не ниже 3,0 необходимо и достаточно для получения зачета в первом семестре и допуска к экзамену – во втором.

Желаю успеха!

А.В.Каплан.

Контрольная работа №1

Аналитическая геометрия».

Задание 1. Прямая линия.

Дано уравнение прямой ℓ и точка М(х₀;у₀).

1) Найти расстояние от точки М до прямой ℓ.
2) Привести уравнение прямой ℓ к виду в отрезках.
3) Найти площадь S треугольника, отсекаемого прямой ℓ на осях

координат.
4) Написать уравнение прямой ℓ_^, проходящей через точку М и

перпендикулярной ℓ.
5) Найти точку P пересечения полученной прямой ℓ_^ и прямой ℓ.

Номер	Уравнение прямой ℓ	Точка М(х0;у0)
1.	2х + у + 1 = 0	М ( 2; 1)
2.	х – 2у + 1 = 0	М ( –1; 2)
3.	2х – у + 1 = 0	М ( 2; –1)
4.	х + у + 1 = 0	М ( 1; 1)
5.	х – у + 1 = 0	М ( 1; –1)
6.	х +2у + 1 = 0	М ( 1; 2)
7.	х – у – 1 = 0	М ( –1; –1)
8.	х + у – 1 = 0	М ( –1; 1)
9.	х + 2у – 1 = 0	М ( 1; –2)
10.	2х – у – 1 = 0	М ( 2; 2)

Задание 2. Окружность.

Дано уравнение окружности.

1) Привести это уравнение к каноническому виду.
2) Найти координаты центра.
3) Найти радиус.
4) Найти точки пересечения окружности с осью абсцисс.
5) Найти точки пересечения окружности с осью ординат.

Номер	Уравнение окружности	Номер	Уравнение окружности
1.	х2 + у2 – 2х + 2у – 1 = 0	6.	х2 + у2 – 10х – 6у + 33 = 0
2.	х2 + у2 – 4х – 2у + 1 = 0	7.	х2 + у2 – 8х + 6у = 0
3.	х2 + у2 – 4х + 2у + 1 = 0	8.	х2 + у2 – 2х – 4у + 1 = 0
4.	х2 + у2 – 2х + 2у + 1 = 0	9.	х2 + у2 – 4х + 4у + 4 = 0
5.	х2 + у2 + 2х + 4у + 1 = 0	10.	х2 + у2 + 2х + 2у + 1 = 0

Задание 3. Эллипс.

Известно, что точка М ( х₀; у₀ ) принадлежит эллипсу, заданному в канонической системе координат. Кроме того, задано еще некоторое дополнительное условие.
1) Составить каноническое уравнение эллипса.
2) Определить параметры a, b, c эллипса.

3) Найти координаты фокусов и вычислить эксцентриситет.
4) Написать уравнения директрис.
5) Найти фокальные радиусы данной точки М.

Номер	Точка М(х0;у0)	Дополнительное условие
1.	М (2; )
2.	М (– ; 2)
3.	М (8; 12)	| MF1 | = 20
4.	М ( ;–1)	| F1F2 | = 8
5.	М ( 4; – )	точка N (2 ; 3) Î эллипсу
6.	М ( 2; –2)	а = 4
7.	М (–2 ; 2)	b = 3
8.	М ( ; )	F1 (–1; 0)
9.	М (4; )	F2 (3; 0)
10.	М ( 2; )

Задание 4. Гипербола.

Дано каноническое уравнение гиперболы.
1) Найти полуоси.
2) Определить координаты фокусов.
3) Вычислить эксцентриситет.
4) Написать уравнения асимптот.
5) Написать уравнения директрис.

Номер	Уравнение гиперболы	Номер	Уравнение гиперболы
1.		6.
2.		7.
3.		8.
4.		9.
5.		10.

Задание 5. Парабола.

В некоторой системе координат задано уравнение параболы.
1) Определить координаты вершины и указать направление оси.
2) Найти величину параметра.

3) Определить координаты фокуса.
4) Написать уравнение директрисы.
5) Найти точки пересечения параболы с осями координат.

Номер	Уравнение параболы	Номер	Уравнение параболы
1.	у2 – 4х – 6у + 29 = 0	6.	у2 – 6х + 14у + 49 = 0
2.	х2 + 2х + у = 0	7.	у2 + 8х – 16 = 0
3.	у2 – х – 6у – 8 = 0	8.	х2 – 6х – у + 8 = 0
4.	у2 – 10х – 2у – 19 = 0	9.	у2 + х – 2у – 3 = 0
5.	х2 – 2х + у – 3 = 0	10.	у2 + х + 2у = 0

Контрольная работа №2

Пределы».

Задание 1.

Вычислить пределы и доказать правильность вычислений на «языке e – N ».

1. . 6. .

2. . 7. .

3. . 8. .

4. . 9. .

5. . 10. .

Задание 2.

Вычислить пределы:

1. . 6. .

2. . 7. .

3. . 8. .

4. . 9. .

5. . 10. .

Задание 3.

Вычислить пределы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Задание 4.

Вычислить пределы:

1. . 6. .

2. . 7. .

3. . 8. .

4. . 9. .

5. . 10. .

Задание 5.

Вычислить пределы:

1. . 6. .

2. . 7. .

3. . 8. .

4. . 9. .

5. . 10. .

Контрольная работа №3

Производные».

В заданиях 1. – 5. вычислить производные указанных функций.

Задание 1. Задание 2.

1. . 1. .
2. . 2. .
3. . 3. .

4. . 4. .
5. . 5. .

Задание 3.\ Задание 4.

1. . 1. .

2. . 2. .

3. . 3. .

4. . 4. .

5. . 5. .

Задание 5.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. .

Контрольная работа №4

Исследование функций».

Задание 1.

Считая известными графики элементарных функций, построить графики указанных сложных функций.

1. y = e ^{arc tg x} . 2. y = ln (cos x) .

3. y = e ^{cos x} . 4. y = ln (sin x) .

5. y = e . 6. y = .

7. . 8. .

9. y = 2 . 10. .

Задание 2.

Найти асимптоты графиков следующих функций.

1. y = . 2. y = .

3. y = . 4. .

5. y = . 6. y = .

7. . 8. .

9. y = 10. y = .

Задание 3.

Найти промежутки монотонности и экстремумы следующих функций (рассмотреть промежуток [ – p; p ] ).

1. y = sin x + cos x . 2. y = sin x + cos x .

3. y = sin x – cos x . 4. y = cos 2x – 2sin x .

5. y = sin x + cos 2x . 6. y = cos x – sin x.

7. y = sin x + cos x . 8. y = sin x – cos 2x .

9. y = cos x + cos 2x . 10.y = sin x – cos x .

Задание 4.

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графиков следующих функций.

1. . 2. y = e .

3. y = х ² ln x . 4. y = x е ^{– х} .

5. . 6. y = ( 1 + х ² ) е ^х .

7. y = х ln ² x. 8. y = х ³ е ^{– х} .

9. y = . 10. y = е ^х( х ² – 2x + 2 ) .

Задание 5.

Исследовать функции и построить графики.

1. у = 2х ³ – 9х ² + 12x – 5 . 2. у = 2х ³ + 15х ² + 36x – 53 .

3. у = х ³ – 12x + 11 . 4. у = х ³ – 3х ² – 9x – 11 .

5. у = 2х ³ – 9х ² + 7 . 6. у = 2х ³ + 9х ² + 12x – 23 .

7. у = 2х ³ – 15х ² + 36x – 23 . 8. у = х ³ – 3x + 2 .

9. у = х ³ + 3х ² – 9x + 5 . 10. у = 2х ³ + 9х ² – 11 .

Контрольная работа №5

Неопределенный интеграл».

В заданиях 1. – 5. вычислить интегралы.

Задание 1.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

Задание 2.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

Задание 3.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

Задание 4.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

Задание 5.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

Контрольная работа №6

Определенный интеграл и его приложения».

Задание 1.

Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок.

1. 2. 3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задание 2.

Вычислить интегралы.

1. 2.

3. 4. .

5. . 6. .

7. 8.

9. . 10. .

Задание 3.

Вычислить несобственные интегралы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задание 4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными

линиями.

1. ; y = x; x = 0 .

2. ; y = 2 – x; y = 0 .

3. ; y = x + 2.

4. ; y = 3x – 1.

5. ; y = x .

6. ; y = 2(1 – x); x = 0

7. ; y = 4(x – 2); y = 0 .

8. ; y = 3x .

9. ; y = 10 – x .

10. ; x + y = .

Задание 5.