Краткие сведения для решения задач. Основное уравнение динамики материальной точки D массой m , движущейся с ускорением a под действием системы сил относительно инерциальной системы отсчёта

Динамика точки.

Основное уравнение динамики материальной точки D массой m , движущейся с ускорением a под действием системы сил относительно инерциальной системы отсчёта XYZ (смотри рисунок 31) имеет вид

, или ,

или в проекциях на оси X,Y,

если учесть, что проекция ускорения на ось равна второй производной по времени от координаты точки по этой оси, т.е.

то получим три дифференциальных уравнения второго порядка

С помощью этих дифференциальных уравнений решаются две основные задачи динамики:

Первая задача: по заданным кинематическим уравнениям движения ( , ) материальной точки и её массе найти равнодействующую сил, приложенных к точке.

Вторая задача: зная силы, приложенные к материальной точке и её массу, определить закон движения её (кинематические уравнения движения) и характеристики этого движения (скорость, ускорение и т.д.).

Вторая задача решается последовательным интегрированием каждого из трёх дифференциальных уравнений второго порядка. При этом (если берутся неопределённые интегралы) появляются по два постоянных интегрирования на одно уравнение. Их необходимо определить, используя, так называемые, начальные условия: в начальный момент (t₀) времени(обычно t₀=0) должны быть известны положение точки (её координаты x₀, y₀, z₀) и её скорость V₀ (заданная через проекции на оси координат V_0X, V_0Y, V_0Z).

Задача 6 (Д1). Тема: Основная (вторая) задача динамики материальной точки.

Задание: Тело D массой m пришло в движение из точки А с начальной скоростью V_O (см. рис. 32). На участке АВ на тело действуют сила тяжести и сила трения (f=0,1). В точке В тело переходит на участок ВС, где на него, кроме силы тяжести и силы трения, действует переменная сила

( , или , или ), проекция, которой задана в таблице 6. Считая тело материальной точкой, найти закон движения тела, зная расстояние АВ=l или время t₁ движения тела от точки А до точки В на участке ВС, т.е. , где х=ВД.

План выполнения задания.

Решение задачи разбивается на две части. Сначала надо составить и с учетом начальных условий проинтегрировать дифференциальные уравнения движения тела на участке АВ. Затем определить скорость тела в точке В, принимая во внимание, что точка В является начальной точкой движения тела по участку ВС. После этого надо составить и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения тела на участке ВС так же с учетом начальных условий, ведя отчет времени от момента, когда тело находится в точке В, полагая, что в этот момент t=0.

Таблица 6

Вари- ант	m, кг	V0, м/с	l, м	t1, с	Fx, H
				-	4V
			-	3,5	9t2
				-	6x
	1,6		-		-4sin(2t)
	1,8			-	-3,6x
			-		2V
	4,5			-	-2cos(2t)
			-	2,5	-6V
				-	4t3
	0,6		-	1,5	12x

Примеры

Решить указанную в задании задачу при следующих данных:

, т.е. определяем .

I. Рассматриваем движение тела D на учачтке АВ, считая его материальной точкой D. Показываем в произвольном положении тело D и действующая на него силы: ‑ сила тяжести ( ); ‑ нормальная составляющая реакции поверхности по которой движется тело; ‑сила трения.

Берем систему координат , совмещая начало координат с точкой А, из которой тело начинает движение: ось - направляем по движению тела; ось - направляем перпендикулярно к оси . К решению задачи применяем дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси координат и .

Для удобства составления этих уравнений вектор разложим на два составляющих вектора и .

Составляем дифференциальные уравнения движения тела.

, (20)

где .

С учетом выражений для , , , уравнения (20) примут вид

(21)

Учитывая, что , и , делаем замену.

(22)

Замечаем, что тело движется только по оси , поэтому

и значит, .

Делаем подстановку в первое уравнение из уравнений (22)

;

Упрощаем:

.

В числах:

Окончательно получим

(23)

Разделяем переменные и интегрируем:

Получаем:

(24)

Постоянную определяем по начальным условиям: при ,т.к. движение началось из точки А.

Подставляем в уравнение (24)

, или ,

уравнение (24) принимает вид:

.

Зная - время движения тела от точки А до точки В, определяем скорость тела в точке В

,

с учетом численных значений имеем

Если в условии задачи дано не время , а l – длина участка АВ, то уравнение (23) следует преобразовать так:

,

окончательно

.

Затем разделяем переменные и проинтегрируем:

.

Получаем

,

Подставляем пределы интегрирования

и находим скорость в точке В.

.

Допустим м, тогда

.

II. Рассматриваем движение тела на участке ВС.

1. Случай, когда , а именно .

Показываем тело D в произвольном положении на участке BC и действующие на тело силы (см. рисунок 31): ­ ‑ сила тяжести; ­ ‑ нормальная составляющая реакции связи; ­ ‑ сила трения; ­ ‑ заданная сила (проекция ­ ‑ отрицательная, поэтому силу направляем против движения).

Показываем систему координат с началом в точке В, ось Вх направляем по движению тела, ось Ву – перпендикулярно к Вх. Движение тела происходит только вдоль оси Вх, поэтому примем что

а .

Составляем дифференциальные уравнения движения тела:

, (25)

где

Учитывая, что = 0 (движение только по оси Вх), имеем .

Делаем подстановку и решаем первое из уравнений (25)

или

После преобразования получим

В числах:

или окончательно

Разделяем переменные и интегрируем:

.

Получаем:

. (26)

Постоянную определим по начальным условиям: при

Подставляем и в уравнение (26)

,

откуда

Подставляя значение в формулу (26), получаем закон изменения скорости

. (27)

Делаем замену :

,

разделяем переменные и интегрируем

получаем:

. (28)

Постоянную определяем по начальным условиям: при , подставляя их в выражение (28)

.

Откуда .

Окончательно имеем:

(29)

это и есть уравнение движения тела на участке ВС.

2. Случай, когда .

В рассматриваемом примере на участке ВС на тело действуют те же силы: , , ­, , где ­ . Допустим, что . Расстановка векторов сил и дифференциальные уравнения движения остаются те же, что и в случае .

, (30)

где силы , , определяются также как показано в случае 1.

Учитывая, что = 0 (движение только по оси Вх), имеем .

Решаем первое из системы уравнений (30):

или

В числах:

после преобразования имеем

Разделяем переменные и интегрируем:

получаем

. (31)

Постоянную определяем по начальным условиям: при подставляя их в выражение (31), откуда .

Теперь найденное значение используем в уравнении (31)

или

.

Решаем:

;

после преобразования

,

или

,

откуда:

. (32)

С учетом выражение (32) примет вид

.

Разделяем переменные и интегрируем:

.

Получаем:

(33)

Постоянную определяем по начальным условиям: при , подставляя их в формулу (33)

,

откуда .

Уравнение движения тела на участке ВС

(м)

3. Случай, когда на участке ВС на тело действует сила .

Допустим , силу направим по движению тела.

Дифференциальные уравнения будут такие же, как и в рассмотренных выше случаях.

, (34)

где силы , , по-прежнему определяются также как в случае 1

Учитывая, что = 0, упрощаем первое из уравнений (34):

или

В числах:

окончательно

Запишем это уравнение так:

(35)

Введем обозначение: k²=2,5.

Уравнение (35) примет вид:

Согласно правилам математики, такое уравнение имеет решение в виде:

(36)

Постоянные и определяем по начальным условиям: при ;

Для применения начальных условий находим уравнение скорости, продифференцировав по времени выражение (36)

. (37)

Введем в уравнения (36) и (37)указанные начальные условия и получим

,

и .

После преобразований имеем:

, (38)

. (39)

Из этих уравнений находим и

. (40)

Подставим найденное для С₁ выражение(40) в формулу (38):

0=0,16+С₂+С₂ –1,62, или 0=2С₂ – 1,46,

откуда С₂= 0,73.

Тогда численное значение С₁ равно

С₁=0,16 + 0,73=0,89.

Подставляя найденные значения и в уравнение (36), находим уравнение движения тела на участке ВС.

4. Случай, когда на участке ВС на тело действует сила .

Допустим . Дифференциальные уравнения будут такие же, как и в предыдущем случае, с той лишь разницей, что , а не . Силу направим против движения.

(41)

где силы , , находятся, как указано выше.

Делая замену как в предыдущем случае, получаем первое из уравнений (41) в следующем виде:

после преобразования:

С учетом численных значений известных величин (напомним,

что m=2 кг)

(42)

Введем обозначение k²=2,5, тогда выражение (42) примет вид

Согласно правилам математики, такое уравнение имеет решение в виде:

, (43)

где ;

.

Тогда уравнение (43) запишется так

. (44)

Чтобы применить начальные условия: при и для определения постоянных и , находим уравнение скорости

(45)

Подставляем в уравнения (44) и (45) указанные начальные условия

0=C₁sink·0 + C₂cosk·0 + 1,62,

0,25= C₁ k cosk·0 - C₂ k sink·0.

После преобразований эти выражения примут вид

0= C₂+ 1,6,

0,25= C₁ k

Откуда находим С₁ и С₂

C₂=- 1,62,

C₁=0,25/k=0,25/1,58 0,16,

и, подставляя их значения в уравнение (44), получим уравнение движения тела на участке ВС.

(м).

Динамика механической системы (твёрдого тела).

Существуют две меры инертности тела: масса и момент инерции.

Инертность – это свойство тела сопротивляться изменению своей скорости.

Масса m используется как мера инертности тела при его поступательном движении, а при вращательном движении мерой инертности является момент инерции J_Z.

Момент инерции J_Z относительно оси (Z) равен сумме произведений масс частиц тела на квадрат их расстояний до оси т.е.

и характеризует распределение массы в теле.

Для тяжёлого кольца (или маховика, у которого масса распределена по его ободу) массой m и радиусом R момент инерции его относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца, равен

J_Z=mR²

Для сплошного однородного диска (или цилиндра) массой m и радиусом R момент инерции его относительно центральной оси равен

J_Z=mR²/2.

Существуют две меры механического движения: количество движения и кинетическая энергия.

Количество движения используется, когда механическое движение не переходит в другие виды движения, а изменяется только по своим характеристикам, во всех остальных случаях в качестве меры используется кинетическая энергия.

Количество движения материальной точки равно

где - масса точки, - её скорость.

Кинетическая энергия материальной точки равна

Кинетическая энергия Т механической системы равна сумме кинетических энергий тел, входящих в эту систему, т.е.

где n - количество тел в механической системе.

Кинетическая энергия тела определяется в зависимости от вида его движения по следующим формулам:

при поступательном движении

где - масса тела, V- его скорость,

при вращательном движении

где - момент инерции тела относительно оси вращения (оси Z ), - угловая скорость вращения тела,

при плоскопараллельном движении

где - скорость центра масс тела (точки С), - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс тела (ось Z_C ).

Совместно с кинетической энергией тела, как мера действия на него силы, используется её работа А.

Работа (А) постоянной силы ( ) на конечном перемещении (S) точки её приложения (точки М) равна

где α - угол между вектором силы и направлением перемещения или направлением скорости точки М (смотри рисунок 33).

Если сила переменная величина, то работа находится следующим образом

где - элементарная работа силы, которую можно найти по формулам:

и

где - проекция силы на направление перемещения точки М, –проекции силы на координатные оси XYZ, - элементарное перемещение точки М, - проекции элементарного перемещения точки на координатные оси.

Наконец, работу некоторых сил можно вычислить с помощью следующих выражений:

для силы тяжести (G)

где - перемещение центра масс тела по высоте, знак «+» - если тело опускается, «-» - если поднимается;

для силы упругости (F_упр)

где - коэффициент упругости, , - начальная и конечная деформации пружины;

для момента силы (M)

где - элементарный угол поворота тела под действием момента М , φ₀, φ₁- начальное и конечное значения угла поворота тела.

Для решения задач часто используется теорема об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии (Т₁- Т₀) механической системы на конечном её перемещении равно сумме работ сил, приложенных к системе на этом перемещении, т.е.

где - начальная и конечная кинетические энергии механической системы.

Задача 7 (Д2). Тема: Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Задание: механическая система, изображённая на рисунке (смотри рисунки 7.0 - 7.9) в начальный момент времени в состоянии покоя, приводится в движение силой , зависящей от перемещения S точки её приложения. Деформация пружины в моментначала движения равна нулю. При движении механической системы на шкив 3 действует постоянный момент М_С сил сопротивления.

Определить значение искомой величины в тот момент, когда перемещение S станет равным S₁=0,4м. Скольжением пренебречь. При решении использовать следующие данные: радиусы ступенчатого шкива 3 R₁=0.3м, R₁=r₃=0,15м, его радиус инерции ρ₃=0,2м. Массу блока 4 считать равномерно распределённой по ободу, а тела 1 и 2 – сплошными однородными цилиндрами, коэффициент трения скольжения грузов 5 и 6 о плоскость f =0,1.

Другие данные, в том числе и жёсткость пружины с, указаны в таблице 7.

Таблица 7

Ва- ри- ант	m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	m5, кг	m6, кг	с, Н/м	МС, Нм	F=f(S),Н	На- йти
								1,4	50(4+6S)	VC1
								1,6	26(4+2S)	V6
								1,8	40(2+6S)	ω4
								2,0	80(4+6S)	ω3
								2,4	60(8+2S)	VC2
								1,2	30(4+5S)	ω1
								0,8	55(2+8S)	ω4
								0,6	45(1+4S)	V6
								1,2	50(4+6S)	V5
								2,1	36(2+3S)	ω3

План выполнения задания

При решении задачи учесть, что кинетическая энергия Т механической системы равна сумме кинетических энергий тех тел, входящих в систему, для которых дана масса. Кинетическую энергию этих тел надо вы-

разить через ту скорость (линейную или угловую), которую требуется определить в задаче. Затем определить работу внешних сил, действующих на механическую систему. При вычислении работы надо перемещения тел выразить через перемещение S₁ точки приложения силы ,которое задано в задаче. Приравнивая изменение кинетической энергии механической системы к сумме работ внешних сил, определить искомую величину.

Пример

Решить указанную в задании задачу при следующих данных:

и

определить угловую скорость тела 1 (ω₁- ?).

Решение

1. К решению задачи применяем теорему об изменении кинетической энергии неизменяемой механической системы

, (46)

где Т₀ – кинетическая энергия механической системы, показанной на рисунке 1 в начальный момент времени в состоянии покоя (Т₀=0), Т - кине-

тическая энергия системы, соответствующая положению, когда точка С₅ приложения силы переместится на расстояние S = S₁.

Получаем

2. Определяем кинетическую энергию Т механической системы. Она состоит из кинетических энергий тел 1, 3, 6, для которых в задаче даны массы (47)

При движении механической системы тело 1 совершает плоское движение,

поэтому его кинетическую энергию находим по формуле

(48)

где m₁ – масса тела 1 , - скорость его центра масс (т. С₁) , - момент инерции тела относительно оси X, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости рисунка (рис.34), ω₁ – угловая скорость относительного вращательного движения тела 1.

Шкив 3 вращается вокруг неподвижной оси (XC₃), его кинетическую энергию определяем формулой

, (49)

где - момент инерции тела относительно оси его вращения, ω₃ - угловая скорость тела.

Тело 6 движется поступательно, его кинетическая энергия

, (50)

где m₆ – масса тела, V₆ – его скорость.

3. Устанавливаем связь между скоростями и перемещениями тел. Обращаем внимание, что в задаче требуется определить угловую скорость ω₁ тела 1 для того положения механической системы, когда S =S₁ , поэтому скорости, входящие в формулы (48), (49), (50), выражаем через ω₁.

В точке Р касания тела 1(сплошного однородного цилиндра) с неподвижной плоскостью находится его мгновенный центр скоростей, поэтому

, (51)

и

но V_K = V_D , значит

, (52)

и

Кроме того, замечаем, что (смотри рис. 35), откуда угол поворота шкива 3 равен

.

Перемещение точки D равно

,

так как V_D = V_K , то

.

Учитывая, что , получим

и .

4. Определяем моменты инерции тел. В задаче предложено тело 1 считать сплошным однородным цилиндром, поэтому

, (54)

а для шкива 3 дан радиус инерции ρ₃ относительно оси вращения, тогда его момент инерции

. (55)

5. Находим кинетические энергии тел 1, 3, 6, делая подстановку в формулы (48), (49), (50) выражений (51), (52), (53), (54), (55). Получим

,

,

.

Вычисляем кинетическую энергию механической системы по формуле (47)

(

,

или в числах

.

6. Указываем внешние силы, приложенные к механической системе (смотри рис. 34): - заданная сила; - силы тяжести тел 1, 3, 6; - реакции связей; - сила трения; - сила упругости деформированной пружины. Определяем работы внешних сил на заданном перемещении S = S₁.

Работа переменной силы

,

или в числах

.

Работы сил и равны нулю, т.е. , так как силы приложены к неподвижной точке С_3.

Работа момента сопротивления М_С

,

в числах

.

Работы сил , и равны нулю, т.е. , так как точки приложения этих сил С₁ и С₆ перемещается в направлении перпендикулярном силам.

Работа силы

,

где - перемещение по высоте точки С₆ приложения силы , тогда

,

в числах

.

Работа силы трения при движении тела 6

,

в числах .

Работа силы упругости растянутой пружины

,

где λ₀ – начальная деформация пружины (λ₀=0), λ₁ – конечная деформация пружины (λ₁= ). Тогда

,

или в числах .

Определяем сумму работ внешних сил, приложенных к механической системе

,

или в числах

.

Подставляем найденные значения кинетической энергии Т₁ и суммы работ внешних сил в выражение (46)

.

Откуда находим угловую скорость ω₁ относительного вращательного движения тела 1

.

Аналитическая механика

Для механической системы, находящейся в равновесии, с целью определения неизвестных сил, приложенных к ней, удобно применять принцип возможных перемещений: для механической системы, находящейся в равновесии, сумма элементарных работ активных сил на любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е.

По этому принципу для механической системы составляется столько уравнений равновесия, сколько независимых возможных перемещений ей можно задать (или сколько степеней свободы она имеет). Степень свободы механической системы (механизма) можно определить с помощью простого правила: если у механической системы (механизма) остановить поступательное или вращательное движение одного тела, и она остановится, то степень свободы равна единице, если же часть системы продолжает двигаться, но после остановки поступательного или вращательного движения второго тела вся система остановится, то её степень свободы равна двум и так далее.

Для того, чтобы перемещение (δS) считалось возможным – оно должно быть очень малым (элементарным) и не должно нарушать наложенные на механическую систему связи.

Задача 8 (Д3). Тема: Принцип возможных перемещений.

Задание: дан шестизвенный механизм OABECD (смотри рисунки 8.0 – 8.9), длины звеньев которого известны: OA=l₁=0,35м, AC=l₂=1,4м, BO₁=l₃=0,7м, CD=l₄=0,875м , AB=BC. Механизм находится в равновесии под действием двух пар с моментами М₁ и М₂ и силы упругости F_упр

пружины, действующей на поршень 5 (коэффициент упругости с пружины задан в таблице 8).

Для положения механизма, заданного величинами углов α₁, α₂, β, γ, φ

(численные значения их приведены в таблице 8) определить величину деформации пружины и её вид (сжимается пружина или растягивается). Указанные углы устанавливаются по транспортиру, направление их откладывания показано на рисунках дуговыми стрелками. Вес звеньев не учитывать.

Таблица 8

Ва- ри- ант	α10	α20	β0	γ0	φ0	с, Н/см	М1, Нм	М2, Нм
		120
	90

Рассмотрим решение задачи на следующем примере. Механизм показан в произвольном масштабе на рисунке 36.

Дано: OA=l₁=0,35м, AC=l₂=1,4м, BO₁=l₃=0,7м, CD=l₄=0,875м , AB=BC,

α₁=120⁰, α₂=110⁰, β=45⁰, γ=80⁰, φ=60⁰, с=150Н/см, М₁=150Нм, М₂=300Нм.

1. Изображаем механизм в заданном по заданию положении в произвольном масштабе. Начинаем построение со звена 1 (ОА), а далее под углами β, γ, α₂, φ последовательно откладываем звенья 2, 3, 4 и ось направляющих ползуна 5.

2. Показываем все приложенные силовые факторы: моменты М₁ и М₂ и силу упругости пружины (F_упр=с∙λ), которую направляем, считая пружину растянутой.

3. Определяем степень свободы механизма, используя приведённое выше правило. Степень свободы равна единице, значит, надо составить только одно уравнение равновесия вида

4.Задаём механизму независимое возможное перемещение (δφ₁ для звена 1) по направлению действия момента М₁. Звенья 1 и 3 могут совершать

вращательное движение относительно стойки 6, звенья 2 и 4 – плоское движение, звено 5 – поступательное движение. Положение механизма, вызванное возможным перемещением δφ₁, показано на рисунке 30 пунктирными линиями.

5. Составляем уравнение равновесия механизма