Краткие сведения из теории. Кинетическим моментом механической системы относительно произвольного центра или оси называется момент вектора количества движения системы относительно того
Кинетическим моментом механической системы относительно произвольного центра или оси называется момент вектора количества движения системы относительно того же центра или оси.
Если тело движется поступательно (например, в плоскости ), то его кинетический момент относительно оси (перпендикулярной плоскости )
(3.1)
Момент можно вычислить геометрическим путем, используя формулу:
(3.2)
где – масса тела;
– скорость центра масс тела;
– плечо вектора количества движения относительно центра (или кратчайшее расстояние от линии действия вектора до центра ).
Аналитический метод вычисления можно представить уравнением:
(3.3)
где – координаты центра масс тела;
– проекции скорости центра масс тела.
Если тело вращается вокруг неподвижной оси то кинетический момент такого тела
(3.4)
где – момент инерции тела относительно оси вращения;
– угловая скорость вращения тела.
В случае плоскопараллельного движения тела его кинетический момент определяется по формуле:
(3.5)
где – момент инерции тела относительно мгновенной оси проходящей через центр масс тела.
Правило знаков: если вектор количества движения поворачивается вокруг оси против хода часовой стрелки, то кинетический момент следует брать со знаком «плюс»; в противном случае – со знаком «минус».
Теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно произвольной оси можно выразить уравнением:
(3.6)
где – главный момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения .
Пример решения задачи
Пример задачи № 3. Для кривошипно-ползунного механизма, изобра-женного на рис. 1.1, определить: 1) кинетический момент механизма относи-тельно неподвижной оси , перпендикулярной плоскости механизма; 2) главный момент внешних сил относительно оси . Исходные данные взяты из примера задачи № 1.
Решение.
1. Распознаем механизм. Он состоит из трех звеньев – кривошипа , вращающегося вокруг неподвижной оси , шатуна , совершающего плоскопараллельное движение и ползуна , движущегося поступательно и прямолинейно (рис. 3.1).
Рис. 3.1
2. Рассматривая механизм в положении, соответствующем произволь-ному (текущему) моменту времени построим неподвижную декартову систему координат , взяв начало в неподвижном шарнире и направив ось перпендикулярно плоскости механизма в сторону смотрящего.
3. Так как механизм состоит из трех тел, то его кинетический момент равен сумме кинетических моментов всех трех звеньев:
. (3.7)
3.1. Кривошип 1 вращается вокруг неподвижной оси , следовательно, его кинетический момент
, (3.8)
где – момент инерции кривошипа 1 относительно оси ;
– угловая скорость вращения кривошипа 1.
Знак «плюс» или «минус» определяется направлением . В рассматри-ваемом случае кривошип 1 вращается против хода часовой стрелки, поэтому принимаем знак «плюс». В противном случае необходимо принимать знак «минус».
3.2. Шатун 2 совершает плоскопараллельное движение, следовательно, его кинетический момент
, (3.9)
где – поступательная составляющая кинетического момента относительно координатной оси ;
– скорость центра масс звена 2;
– плечо или кратчайшее расстояние от линии действия вектора до оси ;
– вращательная вокруг центра масс составляющая кинетичес-кого момента относительно координатной оси ;
– момент инерции шатуна 2 относительно мгновенной оси , проходящей через его центр масс;
– угловая скорость вращения шатуна 2.
Так как в кривошипно-ползунном механизме геометрическое определе-ние затруднительно, то используем аналитическое выражение для всей поступательной составляющей кинетического момента относительно координатной оси :
. (3.10)
Введя угол поворота шатуна 2, который связан с углом поворота кривошипа 1 равенством (угол отсчитывается от неподвижной оси до шатуна 2 против хода часовой стрелки), находим . Знак «минус» говорит о том, что направление угловой скорости шатуна всегда противоположно направлению угловой скорости кривошипа
3.3. Ползун 3 движется поступательно и прямолинейно, поэтому его кинетический момент определяется по формуле:
, (3.11)
где – кратчайшее расстояние от линии действия вектора до оси (в нашем случае , так как линия действия вектора пересекает ось ).
В результате подстановки исходных данных в формулы (3.8) – (3.11) и проведения расчетов по ним получим значение (кг∙м2/с) для кинетического момента механизма относительно оси : .
4. В заключение определим главный момент всех внешних сил, действующих на кривошипно-ползунный механизм, используя теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижной оси :
. (3.12)