Основные случаи вычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах
Практическое занятие № 14
«Вычисление двойных интегралов в случае областей 1 и 2 типа»
1. Цель: Выработать вычислительные навыки на действия с функциями нескольких действительных переменных
2. Пояснения к работе:
2.1 Краткие теоретические сведения:
Определение двойного интеграла
Пусть в замкнутой ограниченной области D плоскости хОу определена непрерывная функция z=f(x, у). Разобьем область D произвольным образом на n частичных областей с площадями ΔS1, ΔS2, .., ΔSn. В каждой i-й элементарной области ΔSi- выберем произвольную точку Мi (хi, yi), умножим значение функции в этой точке f(xi, yi) на площадь ΔSi- соответствующей области и составим сумму этих произведений, т.е. ΔSi, которая называется интегральной суммой функции f(x, у) в области D.
Двойным интегралом функции f(x, у) по области D называется предел этой суммы:
(1)
где λ — наибольший из диаметров элементарных областей ΔSi-. Функция z=f(x, у), для которой предел (1) существует и конечен, называется интегрируемой в этой области.
В прямоугольных координатах дифференциал площади dS=dx dy, тогда двойной интеграл примет вид
(2)
Если f(x, у)>0, то двойной интеграл функции z=f(x, у) по области D равен объему тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у), сбоку цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, a направляющей служит контур фигуры D, и снизу плоскостью z=0.
Основные свойства двойного интеграла
1˚. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций:
2˚ . Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
3°. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, т. е. если область состоит из двух областей D1 и D2, то
Основные случаи вычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах
1) Если область D, в которой рассматривается двойной интеграл (2), есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и заданными уравнениями х = а, x = b
(a ≤ x ≤ b), у = с, y=d (c≤ y ≤ d) то двойной интеграл вычисляется по одной из формул
Интегралы в правых частях формул (3) и (4) называются повторными (или двукратными), а интегралы называются внутренними.
Под символом формуле (3) подразумевается дважды произведенное интегрирование. Первое интегрирование (внутреннее) по переменной у совершается в пределах от с до d в предположении, что х остается постоянным; результат интегрируется по переменной х в пределах от а до b. Если вычисление двойного интеграла выполняется по формуле (4), то порядок интегрирования меняется; внутренний интеграл вычисляется по переменной х, причем у сохраняет постоянное значение, а внешнее (повторное) интегрирование производится по переменной у.
2) Если область D такова, что любая прямая, проходящая внутри этой области и параллельная оси Оу, пересекает ее границу в двух точках (см. рисунки ниже), то эта область называется простой относительно оси Ох и определяется системой неравенств вида
В этом случае двойной интеграл выражается через повторный интеграл по формуле:
(5)
3) Если граница области D пересекается в двух точках всякой прямой, проходящей внутри этой области и параллельной оси Ох (рис. 4, то эта область называется простой относительно оси Оу и определяется системой
неравенств вида
В этом случае двойной интеграл выражается формулой:
(6)
где интегрирование сначала выполняется по переменной х, а затем по переменной у.
4) Если нижняя или верхняя линии границы состоят из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область D необходимо разбить прямыми, параллельными оси Оу, на такие части, чтобы каждый из участков выражался одним уравнением. В этом случае вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух (и более) повторных интегралов.
В случае, изображенном на данном рисунке, область D1 определяется системой неравенств а ≤ х ≤ с, φ1 (x)≤ y ≤φ2(x), а область D2 — системой неравенств с ≤ х ≤ b, φ1 (x )≤ y ≤ φ3(x), и, значит,
Пример 1. Вычислить повторный интеграл:
Решение: Согласно формуле (6), имеем
Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной у, считая х постоянным:
Теперь вычислим внешний интеграл по переменной х, подставив в него полученное выражение:
Пример 2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной прямыми х = 2, x = 6, y=1 и у = 4.
Решение: Область D является простой относительно осей Ох и Оу, поэтому для вычисления интеграла можно использовать любую из формул (3) или (4).
Сначала вычислим двойной интеграл по формуле (3):
Вычислив внутренний интеграл по переменной у при постоянном х, находим
Подставив это выражение во внешний интеграл, получим
Теперь вычислим двойной интеграл по формуле (4):
Найдем внутренний интеграл:
Далее найдем внешний интеграл:
т. е. получили тот же ответ.
Пример 3. Вычислить двойной интеграл по области D, заданной системой неравенств 0 ≤ х ≤ З; ≤ y ≤ 9
Решение: область D является простой как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу; поэтому вычислим этот интеграл двумя способами. Произведем вычисление по формуле (5). Пределами внутреннего интеграла являются функции у=
и у=9, составляющие уравнения нижней и верхней границ области D, а пределами внешнего интеграла являются абсциссы х=0 и х - 3. Значит,
Вычислим внутренний интеграл по переменной у в предположении,
что х - постоянная:
Вычислим внешний интеграл:
Произведем теперь вычисление по формуле (6). В этом случае область D выражается системой
неравенств 0 ≤ у ≤9, 0 ≤ x ≤ , т. е. пределами внутреннего интеграла служат функции х = 0 и x= , а пределами внешнего интеграла — ординаты у=0 и у = 9. Поэтому
Задание
Вариант 1
- Вычислите повторный интеграл:
2. Вычислите двойной интеграл, где D — область, ограниченная параболами у=х2 и х=у2
3. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:
Вариант 2
1. Вычислите повторный интеграл:
2. Вычислите двойной интеграл ,где D — область, ограниченная линиями
3. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле: ;
Вариант 3
1. Вычислите повторный интеграл:
2. Вычислите двойной интеграл , где D — область, oгpaничейная линиями
3. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:
Вариант 4
1. Вычислите повторный интеграл: ;
2. Вычислите двойной интеграл , где D — область, oгpaничейная линиями
3. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле
4. Контрольные вопросы:
1.Дайте определение двойного интеграла;
2. Какие свойства двойных интегралов вы знаете?
3. Что такое повторные интегралы?
4. Какая область называется простой относительно оси ОХ, относительно оси ОУ?
5. Содержание отчёта:
5.1 Наименование работы
5.2 Цель работы
5.3 Задание
5.4 Формулы для расчета
5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов
5.6 Выводы по работе
5.7 Ответы на контрольные вопросы
6. Литература:
1. Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М. Высшая школа, 2003, с.361-375;
2. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике» - Учебное пособие – М.:Высш. школа, 2003, с.439-454.