Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, т.е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Введём новые переменные , пусть Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru и Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru , функции φ и ψ имеют в некоторой области Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru плоскости Оuv непрерывные частные производные.

Функциональный определитель

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru - называется определителем Якоби или якобианом.

Если функция Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru непрерывна в области D, а якобиан Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru , то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru .

Рассмотрим частный случай: замену декартовых координат х и уполярными координатами r и φ. Прямоугольные и полярные координаты связаны формулами

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru .

В качестве u и v возьмём полярные координаты r и φ. Составим Якобиан преобразования u=r, v=φ.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru

Формула замены переменных x, y в полярных координатах будет иметь вид

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru - область в полярной системе координат, соответствует области D в декартовой системе координат.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют тоже правило сведения его к двукратному интегралу

Рис. 9
Если область Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru (рис.9) ограниченна лучами φ=α и φ=β , где α<β и кривыми Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru , Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru , где Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru , для любого Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru , т.е. область Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru -правильная: то двойной интеграл в полярной системе координат вычисляется по следующей формуле

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru

Внутренний интеграл берётся при условии, что φ - константа.

Пусть функции Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru плоскости Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru на открытое множество, содержащее область Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru , и пусть Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru является образом Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru . Если Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru и их частные производные непрерывны, а определитель Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru , то Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru . Выражение Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru - якобианом.

Якобиан, функциональный определитель ½aik½1n с элементами Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru , где yi = fi(X1,...,Xn), l £ i £ n, — функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru .

Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций

y1 = f1 (. x1, x2), y2 = f2(x1, x2) (1)

задаёт отображение области D, лежащей на плоскости x1, x2, на часть плоскости y1, y2. Роль Якобиан для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Например, абсолютное значение Якобиан в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Якобиан в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если Якобиан не обращается в нуль в области D и j (y1, у2) — функция, заданная в области D1 (образе D), то

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru

(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов. Если Якобиан отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение

x1 = j1(y1, y2), x1 = j2(y1, y2),

причём

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru

(аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций. Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x1(0),..., xn(0, y1(0),..., ym(0)) функций y1,..., ут, неявно заданных уравнениями Fk (x1,..., xn, y1,..., ум) = 0, (2)

1 £ k £ m,

достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Якобиан

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах - student2.ru

был отличен от нуля в точке М.

1. Применение двойного интеграла: вычисление геометрических величин – площади области, объема тела, площади поверхности тела.

2. Применение двойного интеграла: вычисление физических величин – массы пластины, моментов инерции плоской материальной пластины, координат центра тяжести материальной пластины, статических моментов пластины.

30. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Наши рекомендации