Разомкнутая СМО с ожиданием

Поток требований, поступающих в n–канальную СМО с неограниченной очередью, имеет интенсивность λ, а поток обслуживаний одной заявки – интенсивность:

.

Граф состояний такой системы представлен на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Граф состояний разомкнутой СМО с ожиданием

Рассмотрим расчет характеристик (показателей качества функционирования) разомкнутой СМО.

1. Для нормального функционирования системы необхо­димо соблюдение требования n > _об (в противном случае оче­редь будет расти неограниченно), где п– количество обслужи­вающих каналов (аппаратов); – интенсивность по­ступления требований в систему; _об – средняя продолжительность обслуживания одного требования одним аппаратом.

2. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, когда их число не превышает числа обслуживаю­щих аппаратов:

P_k=a_kP₀, (0 k n),

a_k= ( _об)^k,

где Р₀ – вероятность того, что все обслуживающие аппараты сво­бодны.

3. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, когда их число превышает число обслуживающих аппаратов:

P_k=a_kP₀, (k > n),

a_k= ( _об)^k.

4. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты сво­бодны:

P₀= .

5. Вероятность того, что обслуживающие аппараты заняты (вероятность отказа в немедленном обслуживании):

P_отк=P_n =P_{n .}

6. Средняя длина очереди:

A₁= = P_n. .

7. Средняя продолжительность ожидания обслуживания (продолжительность простоя в очереди)

T_ож=A₁ =P_{n .}

8.Среднее число требований, находящихся в системе (об­служиваемых и ожидаемых обслуживания):

А₂ = Р₁ + 2Р₂ + 3Р₃ +…+ (n – 1) Р_n-1 +nР_n (n/(n - _об)) + A₁.

9. Среднее число свободных аппаратов:

A₃= .

10. Коэффициент простоя обслуживающего аппарата:

a₃= .

Пример 2. Центральный склад фирмы отпускает материа­лы не только филиалам фирмы, но и сторонним организациям, число которых заранее неизвестно. Представители сторонних организаций могут повторно на склад не прибыть, поскольку договорные отношения могут завершиться или прерваться с од­ними контрагентами и начаться с другими. Поэтому централь­ный склад можно считать разомкнутой (открытой) системой с неограниченным входящим потоком.

Проведенный анализ показал, что входящий на склад по­ток автомашин за материалами является пуассоновским, а за один час на склад в среднем прибывает 1,75 автомашины. На складе имеются два автопогрузчика, которые используются только для погрузки материалов на пребывающие автомашины. Средняя продолжительность погрузки одной автомашины одним автопог­рузчиком составила 48 мин. Продолжительность погрузки одной автомашины подчиняется показательному закону распределения. Если прибывшая автомашина застает оба автопогрузчика заня­тыми, то она становится в очередь. Анализ также показал, что продолжительность ожидания (простоя в очереди) подчиняется показательному закону распределения.

Решение. Рассчитаем основные параметры системы для условий задачи.

Прежде всего проверим выполнение условия п > _об. Так как 2>1,75 0,8 = 1,4, то система может нормально функцио­нировать.

Вероятность того, что на складе нет автомашин:

Р₀= 1,4Р₀=Р₀.

Вероятность того, что на складе одна автомашина:

P₁= 1,4P₀=1,4P_0.

Вероятность того, что на складе две автомашины:

P₂= 1,4²P₀=0,98P_0.

Вероятность отказа в немедленном обслуживании (вероят­ность возникновения очереди):

P_отк=P₂ =0,98P₀ =3,2667P_0.