Электрический диполь. Электрический момент диполя. Напряженность и потенциал поля диполя

Диполем называется совокупность двух равных зарядов противо-положного знака, находящихся на расстоянии, малом по сравнению с расстоянием до точек, в которых рассматривается его электрическое поле. Линия, проходящая через заряды, называется осью диполя. Век-

тор l, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к поло-

жительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя (рис. 2.1.1).Вектор,совпадающий по направлению с плечомдиполя и равный произведению модуля заряда на плечо диполя, назы-

вается электрическим моментом диполя:

	(2.1.1)
pе ql .

l

_–q ^pe

_+q Ось диполя

Рис. 2.1.1

Вычислим сначала потенциал, а затем напряженность поля ди-поля. Это поле обладает осевой симметрией. Поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, будет одной и той

же, причем вектор E лежит в этой плоскости. Положение точки от-носительно диполя будем характеризовать с помощью радиуса-вектора r либо с помощью полярных координат r и (рис. 2.1.2).

Расстояния от зарядов +q и –q до данной точки А обозначим соответственно через r₊ и r_–.

E Er

E

e

А

er

r

r

r

M

O

N

−q

l/2

l

l/2

+q

Рис. 2.1.2

Потенциал в точке А равен:

1 q q

q

r

r

.

(2.1.2)

r

r

r r

Так как r >> l ( согласно определению электрического диполя), то можно считать, что r₊r_– r², тогда

	q		r	r
						.	(2.1.3)
4 0		r

Используя теорему косинусов, запишем для треугольников МАО и NAO (рис. 4.2) выражения

r 2

r 2

l

2r

l

cos 180r 2

l

rl cos ;(2.1.4)

r 2

r 2

l

2r

l

cos r 2

l

rl cos .

(2.1.5)

Вычтем из выражения (2.1.4) выражение (2.1.5) и с учетом того, что r_– + r₊ 2r, получим:

r 2	r 2	2rl cos	r	r	r	r		2rl cos
		r	r	2r 2rl cos		r	r l cos .	(2.1.6)

Подставим результат выражения (2.1.6) в выражение (2.1.3):

q

l cos

p

e

cos .

(2.1.7)

4 0

r

4 0

r

Из формулы (2.1.7) следует, что поле диполя определяется его электрическим моментом р_e.

Вычислим напряженность поля диполя, используя соотноше-ние (1.11.2). Для этого воспользуемся выражением градиента в по-лярной системе координат:

1

1

E grad

e

e

e

e

E e

E e , (2.1.8)

r

r

r

r

r

r

r r

где e_r , e – орты полярной системы координат.

Er

pe

2 pe

(2.1.9)

cos

cos ;

r

r 40 r 2

4 0 r3

E

1

1

pe

cos

pe

sin .

(2.1.10)

r

r

4 0

r 2

4 0 r3

Так как составляющие E

и E

взаимно перпендикулярны, то мо-

r

дуль напряженности Е поля диполя находим следующим образом:

pe

pe

E

E 2

E2

4cos2 sin2

1 3cos2 . (2.1.11)

r 3

r3

r

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Напряженность и потенциал электростатического поля в точке, лежащей на оси диполя (рис. 2.1.3).

		l/2		l/2					E
		O						A
–q		pe+q	r
				Рис. 2.1.3

В этом случае = 0. Из формул (2.1.7) и (2.1.11) следует, что

E		2 pe	и			pe	.	(2.1.12)
4 0
	r3		4 0 r2

В этом случае напряженность и потенциал поля будут макси-мальными для выбранного расстояния r.

2. Напряженность поля в точке, лежащей на серединном перпен-дикуляре к оси диполя (рис. 2.1.4).

	E
E		А
r–	E		r+
	r
–q	O		+q

l

Рис. 2.1.4

В этом случае = 90°. Из формул (2.1.7) и (2.1.11) следует, что

E			pe	и = 0.	(2.1.13)
4 0
		r

В этом случае напряженность поля будет минимальной для вы-бранного расстояния r.

На рис. 2.1.5 показаны силовые линии (пунктирные линии) и эк-випотенциальные поверхности (сплошные линии) поля диполя.

Рис. 2.1.5

Согласно выражению (2.1.13), при угле = 90° потенциал обра-щается в нуль для всех точек. Таким образом, все точки плоскости,

перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину, имеют нулевой потенциал.