Вступ до математичного аналізу

Основні теореми про границі
Якщо існують і , то мають місце теореми:	Аналітичний запис
Границя алгебраїчної суми двох (скінченної кількості) функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь цих функцій.
Границя добутку двох (скінченної кількості) функцій дорівнює добутку границь цих функцій.
Границя частки двох (скінченної кількості) функцій дорівнює частці границь цих функцій за умови, що границя дільника не дорівнює нулеві
Сталий множник можна виносити за знак границі.
Границя цілого додатного степеня функції дорівнює тому ж степеню границі функції.

Визначні границі та їх наслідки
Назва	Аналітичний запис
Перша визначна границя

Наслідки	1. 2. 3. 4. 5.
Друга визначна границя	де е=2,718281…
Наслідки	1. 2.

Неперервність функції в точці
Назва поняття	Означення
х0 – точка неперервності функції f(x)	1. f(x) визначена в точці х0 і в деякому її околі. 2. Існує

	3. Виконується рівність .
х0 – точка розриву функції f(x)	Не виконується одна з умов 1-3.

Класифікація точок розриву функції
Назва	Означення
х0 – точка розриву першого роду: а) усувний розрив	, але невизначена або
б) неусувний розрив (розрив типу „стрибка”)	, але обидві границі скінченні
х0 – точка розриву другого роду	Хоча б одна з границь , не існує або дорівнює нескінченності.

Запитання для самоконтролю

1. Що називають функцією однієї змінної? Її областю визначення? Множиною значень?

2. Назвіть основні елементарні функції. Згадайте їх властивості і графіки.

3. Дайте означення границі послідовності, функції.

4. Сформулюйте основні властивості границь.

5. Запишіть і виведіть І-шу і ІІ-гу визначні границі.

6. Які границі називаються односторонніми?

7. Сформулюйте означення неперервної функції в точці і на інтервалі.

8. Що таке точки розриву функції? Як вони класифікуються?

Рекомендована література: [1], розділ 2;[8],розділ I,II; [5], ч.2, практичні заняття 1-20.

Приклад 2.1. Знайти область визначення функцій:

а) б)

Розв’язання.а) При знаходженні області визначення даної функції потрібно згадати, що корінь парного степеня може існувати лише для невід’ємних чисел, а знаменник дробу повинен бути відмінним від нуля. Ці умови повинні виконуватись одночасно. А тому шукана область визначення являє собою розв’язок системи:

Зобразимо її на рисунку.

Рис.3

Відповідь: .

б) З того, що логарифм існує для строго додатних чисел, а вираз, який міститься під знаком функції arcsin, за модулем не перевищує одиниці, маємо систему:

Зобразимо область визначення даної функції на рисунку.

Рис.4

Відповідь: .

Приклад 2.2. Знайти границі функцій:

а) б)

в) г) д)

Розв’язання.а) При маємо неозначеність виду Щоб її розкрити, поділимо почленно чисельник і знаменник дробу на х у найвищому степені (в нашому випадку на х²). Маємо

Зауважимо, що при величини та – нескінченно малі, а тому

б) Безпосередня підстановка граничного значення х=-2 дає неозначеність виду Щоб розкрити цю неозначеність, виділимо в чисельнику і знаменнику дробу множник х+2і скоротимо на нього. (Множник х+2 обов’язково увійде в розклад на множники многочленів в чисельнику і знаменнику дробу, оскільки х=-2 – корінь обох многочленів. Зауважимо, що скорочення можливе, бо х+2≠0, хоча й(х+2)→0).

Для виділення множника х+2 в чисельнику і знаменнику дробу

виконаємо ділення квадратних тричленів на двочлен:

в) Безпосередня підстановка граничного значення х=6 дає неозначеність виду Щоб її розкрити, звільнимося від ірраціональності у знаменнику. Для цього домножимо чисельник і знаменник дробу на вираз, спряжений до знаменника, тобто, на

г) Для знаходження даної границі використаємо наслідок з першої визначної границі У нашому випадку

=

д) При маємо неозначеність виду . Щоб її розкрити скористаємося наслідком з другої визначної границі

Для цього поділимо чисельник і знаменник основи степеня на 2х. Маємо:

Приклад 2.3. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік:

Розв’язання. Функція визначена для всіх . Розрив можливий лише в точці х=2, при переході через яку функція змінює свій аналітичний вираз.

Знаходимо односторонні границі:

В точці х=2 функція має скінченний розрив (розрив першого роду).

“Стрибок” функції:

Завдання для самоконтролю

1. Знайти область визначення функцій:

а) ; б) ; в) ;

г) ;

д) .

2. Знайти границі функцій:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

є) ; ж) ; з) .

3. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік: