Дифференциальные уравнения движения Навье–Стокса

При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.

Действие сил трения Т на выделенный в потоке вязкой жидкости элементарный параллелепипед (рис. 14) проявляется в возникновении на его поверхности касательных напряжений . Рассмотрим первоначально относительно простой случай одномерного плоского потока капельной жидкости в направлении оси х, когда проекция скорости w_x зависит только от расстояния z до горизонтальной плоскости отсчета.

В. этих условиях касательные напряжения возникают лишь на поверхностях dF верхней и нижней граней элементарного параллелепипеда, причем dF = dx dy. Если касательное напряжение на нижней грани параллелепипеда равно , то на верхней оно составляет .

Рис. 14. К выводу уравнений Навье–Стокса

Производная выражает изменение касательного напряжения вдоль оси z в точках, лежащих на нижней грани параллелепипеда, а представляет собой изменение этого напряжения вдоль всей длины dz ребра параллелепипеда.

Указанные на рис. 14 стрелками направления сил трения, приложенных к параллелепипеду на его нижней и верхней гранях, обусловлены, например, тем, что более медленные вышележащие слои жидкости затормаживают слой, в котором находится параллелепипед, а более быстрые нижележащие слои «разгоняют» его (вспомним, что на стр. 26 мы условились проводить нормаль к поверхностям соприкосновения перемещающихся относительно друг друга слоев в направлении уменьшения их скорости).

Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х

Подставив в это выражение значение касательного напряжения по уравнению (12а) [ , где — вязкость жидкости], получим

В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости w_x будет изменяться не только в направлении z, но и в направлениях всех трех осей координат. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х примет вид

Сумму вторых производных по осям координат называют оператором Лапласа;

Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на ось х может быть представлена как

Соответственно проекции равнодействующей сил трения:

на ось у

на ось z

Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жидкости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при выводе уравнений Эйлера), составляют:

на ось х

на ось y

на ось z

Суммы проекций сил на оси координат, в соответствии с основным принципом динамики, должны быть равны произведению массы жидкости r dx dy dz (r — плотность жидкости), заключенной в элементарном объеме, на проекции ускорения на оси координат. Поэтому, приравнивая проекции равнодействующей произведениям массы на проекции ускорения, после сокращения на dx dy dz, получим

где соответствующие субстанциональные производные выражены для установившегося и неустановившегося потоков, уравнениями (47) или (47а).

Уравнения (48) представляют собой уравнения Навье – Стокcа, описывающие движение вязкой капельной жидкости.

Левые части уравнений (48) выражают произведение массы единицы объема р на проекцию ее ускорения, т. е. представляют собой проекции равнодействующей сил инерции, возникающих в движущейся жидкости.

В правых частях тех же уравнений произведение pg отражает влияние сил тяжести, частные производные , и — влияние изменения гидростатического давления, а произведения вязкости на сумму вторых производных проекций скорости – влияние сил трения на движущуюся жидкость.

При движении идеальной жидкости, когда силы трения отсутствуют, при подстановке m = 0 в уравнения (48) последние совпадают с уравнениями (46), т. е. уравнения движения Эйлера можно получить как частный случай уравнений Навье–Стокса.

Полное описание движения вязкой жидкости в его наиболее общей форме возможно путем решения уравнений Навье—Стокса совместно с уравнением неразрывности потока. Однако уравнения Навье—Стокса не могут быть решены в общем виде. Получены решения этой сложной системы уравнений только для некоторых частных случаев. Так, для установившегося ламинарного движения жидкости решение уравнений Навье— Стокса позволяет вывести уравнение Пуазейля, полученное выше другим способом.

В большинстве же наиболее важных для промышленной практики случаев применение уравнений Навье–Стокса становится возможным либо при ряде упрощающих допущений, либо при преобразовании этих уравнений методами теории подобия.

Уравнение Бернулли

Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравнений гидродинамики — уравнению Бернулли.

Умножив левые и правые части каждого из уравнений (46) соответственно на dx, dy и dz и разделив на плотность жидкости, получим

Сложим эти уравнения, учитывая, что производные , и выражают проекции w_x, w_y, и w_z скорости на соответствующие оси координат. Тогда

Слагаемые левой части этого уравнения могут быть представлены как

следовательно, их сумма

где – скорость, составляющие которой вдоль соответствующих осей равны w_x, w_y, и w_z.

В то же время сумма членов, стоящих в скобках в правой части записанного уравнения, представляет собой полный дифференциал давления dp (при установившихся условиях давление зависит лишь от положения точки в пространстве, но в каждой данной точке не меняется со временем). Значит

Разделив обе части этого уравнения на ускорение свободного падения g и перенеся все его члены в левую часть, находим

причем для несжимаемой однородной жидкости r = const.

Сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы, следовательно

откуда

(49)

Уравнение (49) для любых двух поперечных сечений 1 и 2 потока* (трубопровода) можно представить в виде

Уравнение (49) является уравнением Бернулли для идеальной жидкости.

Величину называют полным гидродинамическим напором, или просто гидродинамическим напором.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости гидродинамический напор остается неизменным.

Гидродинамический напор включает три слагаемых, из которых первые два слагаемых, z и , входили в основное уравнение гидростатики;

z - нивелирная высота, называемая также геометрическим, или высотным, напором (h_г), представляет собой удельную потенциальную энергию положения в данной точке (данном сечении);

- напор давления (h_давл) или пьезометрический напор, характеризует удельную потенциальную энергию давления в данной точке (данном сечении).

Сумма , называемая полным гидростатическим, или просто статическим напором (h_ст), следовательно, выражает полную удельную потенциальную энергию в данной точке (данном сечении).

Величины z и могут быть выражены как в единицах длины, так и в единицах удельной энергии, т. е. энергии, приходящейся на единицу веса жидкости.

Третья составляющая, , также выражена в единицах длины, м.

Величину называют скоростным, или динамическим, напором и обозначают через h_ск. Скоростной напор характеризует удельную кинетическую энергию в данной точке (данном сечении).

Таким образом, согласно уравнению. Бернулли, при установившемся движении идеальной жидкости сумма скоростного и статического напоров, равная гидродинамическому напору, не меняется при переходе от одного поперечного сечения потока к другому.

Вместе с тем из уравнения Бернулли в соответствии с энергетическим смыслом его членов следует, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной и кинетической энергии жидкости для каждого из поперечных сечений потока остается неизменной.

При изменении поперечного сечения трубопровода и соответственно скорости движения жидкости происходит превращение энергии: при суже­нии трубопровода часть потенциальной энергии давления переходит в кинетическую и, наоборот, при расширении трубопровода часть кинетической энергии переходит в потенциальную, но общее количество энергии остается постоянным. Отсюда следует, что для идеальной жидкости количество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубопровода, равно количеству энергии, удаляющейся с потоком через конечное сечение трубопровода.

Таким образом, уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока.

Если умножить левую и правую части уравнения (50) на удельный вес жидкости , то уравнение Бернулли для идеальной жидкости может быть представлено в виде

(50a)

В уравнении (50а) каждый член выражает удельную энергию в данной точке, отнесенную не к единице веса, а к единице объема жидкости (1 м³).

В случае горизонтально расположенного трубопровода z₁ = z₂ и уравнение Бернулли для идеальной жидкости упрощается:

Проиллюстрируем применение уравнения Бернулли на примере потока идеальной жидкости, движущейся через произвольно расположенный в пространстве трубопровод переменного сечения (рис. 15).

Пусть для точек, лежащих на оси трубопровода в поперечных сечениях 1—1 и 2—2, нивелирные высоты равны z₁ и z₂ соответственно. Установим в каждой из этих точек две вертикальные открытые так называемые пьезометрические трубки, у одной из которых нижний конец загнут навстречу потоку жидкости в трубопроводе.

В прямых вертикальных трубках (с незагнутыми нижними концами) жидкость поднимается на высоту, отвечающую гидростатическому давлению в точках их погружения, т. е. эти трубки будут измерять пьезометрические напоры в соответствующих точках.

Рис. 15. К уравнению Бернулли для идеальной жидкости

В трубках с нижними концами, направленными навстречу потоку, уровень жидкости будет выше, чем в соседних вертикальных трубках, так как трубки с загнутыми концами будут показывать сумму пьезометрического и динамического (скоростного) напоров. Однако, согласно уравнению (49), во всех трубках с загнутыми нижними концами жидкость поднимается на одну и ту же высоту относительно произвольной горизонтальной плоскости сравнения, равную гидродинамическому напору Н (см. рис. 15).

Площадь поперечного сечения 2—2 трубопровода меньше сечения 1—1. Поэтому скорость жидкости w₂ при данном ее расходе, согласно уравнению неразрывности потока, будет больше w₁. Соответственно > .

В любом поперечном сечении трубопровода скоростной напор можно измерить по разности показаний установленных здесь трубок (с загнутым и прямым нижними концами). Cлeдoвaтeльнo, эта разность должна быть больше для сечения 2–2, чем для сечения 1–1. Вместе с тем из уравнения Бернулли следует, что высота уровня жидкости в прямой трубке в сечении 2–2 должна быть меньше соответствующей высоты в прямой трубке сечения 1–1 настолько же, насколько скоростной напор в сечении 2–2 больше, чем в сечении 1–1.

Приведенный пример демонстрирует взаимный переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот при изменении площади сечения трубопровода, а также постоянство суммы этих энергий в любом поперечном сечении трубопровода.

При движении реальных жидкостей начинают действовать силы внутреннего трения, обусловленные вязкостью жидкости и режимом ее движения, а также силы трения о стенки трубы. Эти силы оказывают сопротивление движению жидкости. На преодоление возникающего гидравлического сопротивления должна расходоваться некоторая часть энергии потока. Поэтому общее количество энергии потока по длине трубопровода будет непрерывно уменьшаться вследствие перехода потенциальной энергии в потерянную энергию – затрачиваемую на трение и безвозвратно теряемую при рассеивании тепла в окружающую среду.

При этом для двух любых сечений 1–1 и 2–2 трубопровода, расположенных по ходу движения реальной жидкости (см. рис. 15)

При движении реальной жидкости высоты ее подъема (относительно плоскости сравнения) в трубках с концами, обращенными навстречу потоку, уже не будут равны в сечениях /—/ и 2—2, как было показано на рис. 15 применительно к движению идеальной жидкости. Разность высот в этих трубках, обусловленная потерями энергии на пути жидкости от сечения 1—1 до сечения 2—2, характеризует потерянный напор h_пот.

Для соблюдения баланса энергии при движении реальной жидкости в правую часть уравнения (50) должен быть введен член, выражающий потерянный напор. Тогда получим уравнение Бернулли для реальных жидкостей:

Потерянный напор h_пот характеризует удельную (т. е. отнесенную к единице веса жидкости) энергию, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления при движении реальной жидкости.

Уравнение (52) может быть представлено в несколько ином виде, если умножить обе его части на pg:

В уравнении (52а) величина Dр_пот – потерянное давление, равное

Определение потерь напора или давления является практически важной задачей, связанной с расчетом энергии, которая необходима для перемещения реальных жидкостей при помощи насосов, компрессоров и т. д. Трудность решения этой задачи обусловлена тем, что решение системы дифференциальных уравнений, описывающих движение реальной жидкости, в большинстве случаев оказывается невозможным.