Прямая и плоскость в пространстве

1. Уравнение плоскости:

-- перпендикулярной данному вектору n=(А,В,С) и проходящей через данную точку М₀(х₀,у₀,z₀)

А (х-х₀)+В (у-у₀)+С (z –z₀)

-- в отрезках х/а+у/b+z/c=1

-- общее Ах+Вх+Сz+D=0.

2. Даны две плоскости А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 (1) и А₂х+ В₂у + С₂z + D₂ = 0 (2).

Угол φ, образованный двумя плоскостями, находится из соотношения:

А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂

соs φ = ± ―――――――――――.

√А₁²+В₁²+С₁² √А₂²+В₂²+С₂²

Условие параллельности двух плоскостей:

А₁ В₁ С₁

― = ― = ―

А₂ В₂ С₂

Условие перпендикулярности плоскостей: А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂ = 0.

4. Уравнение прямой в пространстве:

-- как линии пересечения двух плоскостей:

А₁х₁+В₁у+С₁z+D₁ = 0,

А₂х₂+В₂у+С₂z+D₂ = 0;

-- проходящей через данную точку М (х₁,у₁,z₁) с направляющим вектором s = (m,n,p):

х – х₁ у – у₁ z – z₁

―― = ―― = ――

m n p

5. Даны две прямые с направляющими векторами s₁ = (m₁,n₁,p₁) и s₂ = (m₂,n₂,p₂).

Угол φ между двумя прямыми находится из соотношения:

m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂

соs φ = ± ―――――――――――

√m₁²+n₁²+p₁² √m₂²+n₂²+p₂²

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

m₁ n₁ p₁

― = ― = ―

m₂ n₂ p₂

Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве:

m₁m_{2 +} n₁n_{2 +} p₁p₂ = 0.

6. Дана прямая х – х₁ у – у₁ z – z₁

―― = ―― = ―― и плоскость Ах + Ву +Сz + D = 0.

m n p

Угол φ между прямой и плоскостью определяется из соотношения:

│Аm + Bn + Cp│

sin φ = ――――――――――

√А²+В²+С² √m²+n²+p²

Условие параллельности прямой и плоскости:

Аm + Вn + Cp = 0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

А В С

― = ― = ― .

m n р

Семинар№5. Предел функции. Непрерывность функции.

ПЗ № 5. Введение в анализ. Пределы и непрерывность.

1. Разбор домашнего задания №3

2. Найти пределы: 1) ; 2)

3) ; 4) ; 5)

6) ; 7)

Функция

1. Если каждому элементу (значению) х множества X поставить в соответствие определенный элемент (значение) у множества Y, то го­ворят, что на множестве X задана функция у = f(х); при этом множе­ство X называется областью определения функции у, а множество Y— областью значений функции y.

2. Функцияy =f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения функции f(-х) =f(х), и нечетной, если/(-х) = = -f(x). В противном случаеf(х) — функция общего вида.

3. Функция у =f(х) называется возрастающей (убывающей) на не­котором промежутке X, если большему значению аргумента соответ­ствует большее (меньшее) значение функции f(х). Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

4. Функция f(х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое число М > О, что |f(х)| < М, для всех х Є X. В про­тивном случае функция называется неограниченной.

5. Если функция у = f(u) есть функция переменной и (определен­ной на множестве U с областью значений Y), а переменная и, в свою очередь, также является функцией и = φ(х) (определенной на множе­стве X с областью значений U), то заданная на множестве X функция у =f[φ(х)] называется сложной функцией.

6. Основные элементарные функции:

а) степенная функция у = хⁿ;

б) показательная функция у = а^х, а > 0, а ≠ 1

(Х = (-∞;+∞); Y = (0;+∞));

в) логарифмическая функция у = log _ax, а > 0, а ≠ 1

(Х = (0;+∞); Y = (-∞;+∞));

г) тригонометрические функции у=sin х, у = cos х, y= tg х, у = ctg x д) обратные тригонометрические функции у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

7. Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

S. Функция у = f(x) называется периодической с периодом Т ≠ 0,

eсли f(x⁺Т) ⁼f(x) для любых х е X.

9. Преобразования графиков:

a) y=f(x+a)- сдвигает график у =f(x) параллельно оси Ох на a единиц, (а > 0 — влево, а < 0 — вправо);

б) у f(x) + b - сдвигает график у = fix) параллельно оси Оу на b единиц (b>0 — вверх, b < 0 — вниз);

в)у ⁼ cf(x) (с ≠ 0) - растягивает в с раз (с > 1) или сжимает (0 < с < 1) графику =f(x) относительно оси Оу; при с < 0 симметрично отобра­жает график относительно оси Ох;

г) у =f(kx) (k≠0) — растягивает в k раз (k > 1) или сжимает (0 <k < 1) график у =f(x) относительно оси Ох; при k < 0 симметрично отобра­жает график относительно оси Оу. 10. Абсолютная величина (модуль) действительного числа х:

x,если х≥0 |x|= х,если х<0.

6. Пределы и непрерывность

1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число а_n то говорят, что задана числовая последовательность (а_n).

2. Число А называется пределом числовой последовательности (а_n )

если для любого ξ> 0 найдется такой номер N, зависящий от ξ, что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство

│a_n-A│<ξ(lim a_n=A

3. Число А называется пределом функции y=f(x) при х —> ∞ , если для любого ξ > 0 найдется также число S > О, зависящее от ξ, что для всех х таких, что |х| > S, будет верно неравенство │f(x)-A│<ξ (lim f(x)=A)

4. Функция а(х) называется бесконечно малой величиной при х —> х₀ (или х —> ∞ ), если lim а(х) = 0

6. Функция Fх) называется бесконечно большой величиной при х —> х₀, если для любого М > 0 найдется такое число δ > 0, зависяoщее от М, что для всех х #хо и удовлетворяющих условию |х - хо| < δ будет верно неравенство

│f(x)│>M(lim F(x)=∞.

Первый замечательный предел.

Lim sin x/x =1

u→0

Второй замечательный предел

Lim (1+1/x)^x=e lim (1+y)^1/y=e.

x→∞ y→0

Раскрытие неопределенностей различных типов

Далеко не всякая подстановка предельного значения в функцию вместо независимой переменной может сразу привес­ти к нахождению предела. Случаи, в которых подстановка предельно­го значения в функцию не дает значения предела, называют неопреде­ленностями; к ним относятся неопределенности видов

Устранить неопределенность удается часто с помощью алгебраи­ческих преобразований.

Семинар№6. Производная и дифференциал функции.

ПЗ №6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная. Дифференциал функции.

1. Разбор домашнего задания №4

2. Пользуясь определением производной, найти производный функций: 1) y=C, где C=const; 2) ; 3) y=sinx

Найти производные функций и вычислить их значения при x=2 и x=0:

1) ; 2) ; 3)

Найти производные следующих функций: 1) y=sin⁵x; 2) y=cos5x; 3) y=ln(x²+1); 4) y=7^8x-3; 5) y=(1-2x)⁵⁰

Определение производной.

1. Производной функции y = f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

Δy f (x+Δx) – f (x)

y' = f'(x) = lim ― = lim ―――――― .

^Δx→0 Δx ^Δx→0 Δx

Если функция в точке x₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

2. Если функция y = f ' (x) дифференцируема в точке х₀ (или на промежутке Х), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке Х). Если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.