Пример расчета балки-стенки методом коллокаций
Проведем расчет балки-стенки высотой и шириной . Поверхностная нагрузка по граням балки-стенки (рис.1) меняется по линейному закону. Примем, например:
(10)
Таким образом, для поверхностной нагрузки имеем:
(11)
Решение будем искать в виде:
(12)
В этом случае условие совместности (5) удовлетворяется автоматически (тождественно).
Необходимо определить неизвестные коэффициенты .
Из уравнений равновесия (1) внутреннего элемента 1 (рис.8 и рис.4) (первая точка коллокаций) получаем:
(13)
Составим уравнение равновесия граничного элемента 2с координатами (0,y2):
(14)
Аналогично для граничного элемента 3с координатами (x3,h):
(15)
Для граничного элемента 4с координатами (b,y4):
(16)
Таким образом, неизвестно 9 коэффициентов . Необходимо составить 9 алгебраических уравнений. Для этого берем следующие конкретные точки коллокаций граничных элементов.
Согласно (14) для второй точки коллокацийс координатами (0,0):
(17)
По уравнениям (15) для третьей точки коллокацийс координатами (0,h):
(18)
Согласно (15) для четвертой точки коллокацийс координатами (b,h):
(19)
По выражениям (16) для пятой точки коллокацийс координатами (b,h/2):
(20)
Таким образом, из 10 уравнений одно можно убрать (на усмотрение расчетчика), поскольку решение получается приближенное.
Разрешив систему уравнений (13), (17)-(20), получаем следующие искомые константы:
(21)
Окончательно выражения для напряжений примут вид:
(22)
На рис.9, рис.10, рис.11 построены эпюры напряжений в сечениях , .
Расчет на прочность
Для бетона в случае ПНС для оценки прочности применим критерий Г.А. Гениева, который имеет вид:
(23)
Здесь – расчетные значения сопротивления бетона сжатию и растяжению соответственно; – главные напряжения.
Например, примем в расчетах марку бетона B50, для которого .
Главные напряжения , как известно, определяются по формулам:
(24)
Определим по эпюрам напряжений (рис.9 – рис.11) опасные точки в балке-стенке. Они изображены на рис.12. Проверим прочность в каждой из них.
ВЫВОД
Прочность обеспечена в точках А и В, а в точках С и D условие прочности нарушается.
Ниже в приложении 1 приведен пример численного расчета рассмотренной задачи с применением прикладного пакета MATHEMATICA 5.
Приложение 1
Пример численного расчета данного задания
с применением прикладного пакета MATHEMATICA 5
<<Graphics`FilledPlot`
"ВЫСОТА И ШИРИНА ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БАЛКИ-СТЕНКИ";
h=3;
b=5;
"ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ НАГРУЗКИ";
k11:=0.1;
k12=0.1;
k21=0;
k02=-0.1;
k20=0;
k30=0.1;
k03=-0.1;
"ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ НАГРУЗКИ НА ЛЕВОЙ,ПРАВОЙ И ВЕРХНЕЙ ГРАНИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БАЛКИ-СТЕНКИ";
Px1[y_]:=-3*k03*y-2*k02
Py1[y_]:=2*k12*y+k11
Px3[y_]:=3*k03*y+2*k02+2*k12*b
Py3[y_]:=-2*k12*y-2*k21*b-k11
Px2[x_]:=-2*k21*x-2*k12*h-k11
Py2[x_]:=3*k30*x+2*k20+2*k21*h
"АППРОКСИМАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ С НЕИЗВЕСТНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ";
A10+C01Š0
B01+C10Š0
" РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В ВЫРАЖЕНИЯХ ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ";
"СИСТЕМА СОСТАВЛЕНА ИЗ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ВНУТРЕННЕГО ЭЛЕМЕНТА И ИЗ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ В ТОЧКАХ КОЛЛОКАЦИЙ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ";
-0.2+0.2 x-0.3 y
-0.1+0. x-0.2 y
…Graphics…
…Graphics…
…Graphics…
…Graphics…
…Graphics…
…Graphics…
…Graphics…
…Graphics…
…Graphics…
"ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ В ОПАСНЫХ ТОЧКАХ";
Rb=27.5;
Rbt=1.6;
Rb*Rbt
44.
0.340225
-1.44022
"ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ В ТОЧКЕ A";
-25.81
1.76301
-0.363015
"ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ В ТОЧКЕ B";
40.14
1.62545
0.224554
"ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ В ТОЧКЕ C";
50.2425
1.51401
0.785995
"ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ В ТОЧКЕ D";
61.29
Методические указания
для выполнения расчетно-графической работы
«Решение плоской задачи теории упругости методом коллокаций»
Составители: Каюмов Рашит Абдулхакович
Мухамедова Инзилия Заудатовна
Редактор В.Н. Сластникова
Редакционно-издательский отдел
Казанского государственного архитектурно-строительного университета
________________________________________________________________
Подписано к печати Формат 60x84/16
Бумага офсетная №1 Усл. печ.л. 1,1
Заказ № Печать ризографическая Уч.-изд.л. 1,1
________________________________________________________________
Отпечатано в полиграфическом секторе Издательства КГАСУ
420043, г. Казань, ул. Зеленая, д.1.