Взаимное расположение точки и плоскости

Возможны два варианта взаимного расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет.

Если точка принадлежит плоскости то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну.

Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

1. Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.5.24).

Задача.

Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В.

Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.

Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой.

Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой

D//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.

А) модель

Б) эпюр

Рисунок 5.24. Параллельные плоскости

2. Пересекающиеся плоскости, частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.5.25).

Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая a.

Требуется построить линию пересечения плоскостей.

Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью a - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок [DF] определяет линию пересечения плоскостей. Так как a - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости aП1, таким образом остается только построить недостающие проекции [DF] на П2 и П3.

А) модель

Б) эпюр

Рисунок 6.25. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью

Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.5.26).

А) модель

Б) эпюр

Рисунок 5.26. Пересечение плоскостей общего положения

Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ).

Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость.

Взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.5.27).

А) модель

Б) эпюр

Рисунок 5.27. Взаимно перпендикулярные плоскости

Лекция №6

Многогранники

Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного).

Виды многогранников

Кратко охарактеризуем геометрические свойства некоторых многогранников:

1. Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью (рис.6.1.).

А) модель

Б) эпюр

Рисунок 6.1. Пирамида

2. Призма - многоугольник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом (рис 6.2.).

А) модель

Б) эпюр

Рисунок 6.2. Призма

3. Призматоид - многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются и вершинами многоугольников оснований (рис.6.3.).

А) модель

Б) эпюр

Рисунок 6.3. Призматоид

4. Тела Платона. Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.

Тетраэдр - правильный четырехгранник (рис 6.4.). Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это правильная треугольная пирамида).

А) модель

Б) эпюр

Рисунок 6.4. Тетраэдр

Гексаэдр - правильный шестигранник (рис. 6.5.). Это куб состоящий из шести равных квадратов.

А) модель б) эпюр

Рисунок 6.5. Гексаэдр

Октаэдр - правильный восьмигранник (рис.6.6.). Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

А) модель б) эпюр

Рисунок 6.6. Октаэдр

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины (рис. 6.7.).

а) модель

Б) эпюр

Рисунок 6.7. Додекаэдр

Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины (рис.6.8.).

Б) эпюр

А) модель

Рисунок 6.8. Икосаэдр