Если поменять местами две строки определителя (два столбца), то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на

Определитель, имеющий две равных строки (два равных столбца), равен нулю.

Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному, умноженному на это число.

Определитель транспонированной[3] матрицы равен определителю исходной матрицы.

Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному.

До сих пор было показано, как вычислять определитель второго и третьего порядков. Чтобы вычислить определитель более высоких порядков, пользуются формулой Лапласа разложения определителя по строке или столбцу:

detA = a_i1(–1)ⁱ⁺¹M _i1 + a_i2(–1)ⁱ⁺²M _i2 +¼+ a_in(–1)ⁱ⁺ⁿM _in =

₌ a_1j (–1) ^1+jM _1j + a_2j(–1)^2+jM _2j +¼+ a_nj(–1) ^n+jM _nj

Здесь i и j — любые числа от 1 до n. Последняя формула представляет собой разложение определителя по i-й строке или j-му столбцу. M_ij называется минором и равняется определителю порядка n – 1, который получается из определителя detA, если вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец. Произведение
(–1)^i+jM_ij обозначается A_ij и называется алгебраическим дополнением элемента a_ij.

Пусть D – определитель четвертого порядка: . Представим его разложение по второй строке:

,

и по второму столбцу:

.

Аналогичным образом можно вычислить D, разлагая его по первой, третьей, четвертой строке или по первому, второму или четвертому столбцу.

Вычисление определителя четвертого порядка сводится в худшем случае (если среди элементов нет нулей) к вычислению четырех определителей третьего порядка.

Аналогичным образом вычисление определителя 5-го порядка сводится к вычислению 5-ти определителей 4-го порядка и т.д.

Для того, чтобы получить представление о том, что такое определительn-го порядка, не прибегая к определению на предыдущей странице, можно поступить так: выучить, как вычисляются определители 2-го и 3-го порядков и как по методу Лапласа сводить вычисление определителяn-го порядка к вычислению определителя n – 1-го порядка. Тогда становится понятным, как вычислять определитель 4-го порядка, затем 5-го порядка и т. д.

Из сказанного следует, что вычисление определителя 5-го порядка можно в общем случае свести к вычислению 20-ти(!) определителей 3-го порядка, что очень затрудняет задачу.

Вычисление определителя упрощается, если воспользоваться свойством 5. Пусть D – определитель четвертого порядка:

.

Этот определитель разложим по третьей строке, так как там есть нуль и, что особенно важно, –1. Задача заключается в таком преобразовании определителя D, чтобы получить нули на месте a₃₁ и a₃₃. К первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –2, а к третьему столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3. Второй столбец, с помощью которого проводились преобразования, остается без изменений.

Таким образом вычисление определителя 4-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 3-го порядка:

.

Пусть теперь D — определитель 5-го порядка:

.

Предположим, что мы решили разложить его по первому столбцу. Можно поступить следующим образом. Оставим первую строку без изменений. Вторую строку умножим на 3 и прибавим к ней первую, умноженную на –2. При этом обязательно за знак определителя выносится множитель (см. свойство 3). Вместо третьей строки пишем сумму третьей и умноженной на первой. Четвертую строку умножаем на 3 и прибавляем первую, умноженную на –4, опять вынося множитель за знак определителя. Пятую строку умножаем на 3, прибавляем к ней первую, умноженную на –5 и опять выносим за знак определителя. Теперь получим

.

Теперь вычисление определителя 5-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 4-го порядка.