Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число

Определители

Понятие определителя квадратной матрицы A порядка n = 1,2,3,...

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru .

Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.

Для обозначения определителя квадратной матрицы A будем пользоваться обозначением Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru или Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru .

Пусть A - произвольная квадратная матрица порядка n.

Если n=1, то матрица A состоит из одного числа A. Положим по определению, что определитель такой матрицы равен числу A, т.е. Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru .

Если n=2, то матрица A имеет вид

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru

Положим по определению, что определитель такой матрицы равен

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru

Если n=3, то матрица A имеет вид

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru

Положим по определению, что определитель такой матрицы равен

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru

Основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при её транспонировании:

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru

Доказательство свойства 1 для квадратных матриц 2 и 3 порядков проводится по единой схеме. Приведём доказательство для квадратной матрицы 2-го порядка. Непосредственная проверка доказывает данное свойство.

Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её определитель равен нулю.

Свойство 2 непосредственно вытекает из определения определителя.

Свойство 3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

Свойство 5. Если каждый элемент i-й строки (столбца) матрицы A представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru , где элементы матриц B и C, за исключением элементов i-й строки (столбца), совпадают с соответствующими элементами матрицы A. A в i-х строках (столбцах) матриц B и C стоят упомянутые первые и вторые слагаемые соответственно.

Отметим некоторые следствия, непосредственно вытекающие из перечисленных 5 основных свойств определителя.

Следствие 1. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца) равен нулю.

Доказательство. Пусть A - квадратная матрица, имеющая две одинаковые строки (столбца). B - матрица полученная в результате перестановки указанных одинаковых строк (столбцов) матрицы A. Тогда, с одной стороны, Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru , с другой стороны, в силу свойства 3, Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru . Следовательно, Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru . Из последнего равенства следует, что Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru .

Следствие 2. Если какие-либо две строки (столбца) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

Следствие 3. Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца), умноженные на любое число Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru , то определитель не изменится.

Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть A - произвольная квадратная матрица, Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru – её элемент, стоящий в позиции (I,j). Вычеркивая из матрицы A i-ю строку и j-ый столбец, получим некоторую матрицу Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru , порядка Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru . Определитель матрицы Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru называется минором элемента Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru . Минор элемента Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru будем обозначать символом Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru .

Число Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru называется алгебраическим дополнением элемента Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru . Для обозначения алгебраического дополнения элемента Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru будем пользоваться символом Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число - student2.ru .

Разложение определителя по строке (столбцу)

Наши рекомендации