Статистический интеграл вращательного движения

Молекула массой m состоит из двух одинаковых атомов, находящихся на расстоянии 2r и вращающихся вокруг центра масс. Найдем статистический интеграл вращений при температуре Т.

При вращении изменяется угловое положение атомов. Используем сферические координаты с центром в точке симметрии молекулы. На рисунке черный круг – атом, второй атом в симметричной точке не показан.

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru

При вращении изменяются углы φ и θ, молекула движется по окружностям с радиусами, соответственно, Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru и r. Линейные скорости выражаем через угловые скорости и радиусы окружностей

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru – вдоль Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru ,

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru – вдоль Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru .

Обобщенными координатами фазового пространства являются углы φ и θ. Для нахождения обобщенных импульсов, соответствующих этим координатам, используем уравнение Лагранжа, связывающее импульс со скоростью:

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru .

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru

Жозеф Луи Лагранж (1736–1865)

Функция Лагранжа

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru

зависит от координат и скоростей. При отсутствии потенциальной энергии функция Лагранжа равна кинетической энергией. Для двухатомной молекулы с моментом инерции Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru относительно прямой, перпендикулярной к оси молекулы и проходящей через центр масс, получаем

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru .

Откуда обобщенные импульсы

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru ,

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru .

Угловые скорости выражаем через импульсы

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru ,

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru .

Результаты подставляем в

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru ,

и находим гамильтониан

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru .

Статистический интеграл частицы (2.17)

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru ,

где

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru ,

получает вид

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru .

Интегрируем вначале по j, затем по pq, pj и в конце по θ. Интегралы по pq и по pj сводятся к интегралу Пуассона

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru ,

находим

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru ,

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru .

В результате статистический интеграл вращательного движениямолекулы

Статистический интеграл вращательного движения - student2.ru . (П.3.6)

Наши рекомендации