Лекция 3. Случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

18. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Рассмотрим опыт, в котором наблюдается какая-либо числовая величина.

Числовая величина называется случайной, если в опыте она принимает значение, непредсказуемое заранее.

П р и м е р 1. Пусть число бросаний монеты до первого появления герба. Тогда случайная величина, которая примет одно значение из множества

П р и м е р 2. Пусть время работы телевизора до его поломки. Тогда случайная величина, которая примет одно значение из интервала

Случайные величины (коротко – СВ) принято обозначать большими буквами а их значения – соответствующими малыми буквами Запись обозначает событие «СВ примет значение ». Запись обозначает событие «СВ примет значение, меньшее, чем некоторое число », или «В опыте СВ попадёт в интервал » (рис. 18.1). Запись обозначает событие «СВ примет значение, принадлежащее интервалу ».

Рис. 18.1

19. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим величину вероятность события Значение этой величины зависит от значения поэтому есть функция от

Функция определяемая формулой

называется функцией распределения случайной величины

(19.1)

Таким образом, есть вероятность попадания СВ в интервал (рис. 18.1). Например,

Функцию называют также интегральной функцией распределения.

Отметим свойства функции :

1.

2.

3. неубывающая функция,

4.

(19.2)

¨ 1) Согласно (19.1) есть вероятность, поэтому имеет свойство 1.

2) Так как следующие события равносильны

то отсюда получается свойство 2.

3) Нужно показать, что если то

Поэтому пусть дано

Тогда

Отсюда что и требовалось.

4) Воспользуемся формулой (19.2):

При имеем: При имеем:

Получилось Получилось

отсюда отсюда ■

20. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Случайная величина называется дискретной, если её возможные значения образуют последовательность чисел.

Возможные значения дискретной СВ изображаются отдельными точками (рис. 20.1). Вокруг каждого значенияимеется окрестность, не содержащая других возможных значений случайной величины (например, в окрестность Рис. 20.1точки на рис. 20.1 не попадают ближайшие точки и ). В примере 1 раздела 18 была дана дискретная СВ.

Рис. 20.1

Как вы знаете, событие изображается бесконечным интервалом рис. 18.1). Некоторые точки попадают в этот интервал, остальные не попадают (рис. 20.2). Осуществление события означает, что СВ оказывается равной либо значению либо Рис. 20.2

либо Поэтому

(20.1)

При повторении опыта одни значения могут появляться часто, другие – редко.

Следовательно, каждое значение появляется со своей вероятностью

Если вы укажете возможные значения и их вероятности то будете иметь закон распределения дискретной СВ.

Закон распределения можно задать таблицей

Значения СВ
Их вероятности

называемой рядом распределения, а также формулой

в которой

Так как в опыте обязательно произойдёт одно из событий или или ..., то

или

Имея закон распределения, можно найти функцию распределения по формуле

¨ Докажем эту формулу.

(20.1)

■

З а д а ч а 1. Дискретная СВ задана рядом распределения

(Контроль:0.5+0.3+0.2=1.)

Составить функцию и построить её график.

□ Точками разбиваем ось на части (рис. 20.3).

Рис. 20.3

При имеем

при имеем

при имеем

при имеем

Теперь записываем функцию

и строим её график (рис. 20.3). ■

Как видим, у дискретной СВ график имеет точки разрыва.

21. ТИПИЧНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН