Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть задан закон распределения случайной величины x.

x	х1	х2	х3	¼	хn
P	p1	p2	p3	¼	pn

Математическое ожидание Мx (или М(x)) случайной величины x определяется формулой

Рассмотрим пример. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней). Эти данные собраны в таблицу:

Количество проданных холодильников
Число дней, в которые было продано столько холодильников

По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазине за месяц: 0×3+1×7+2×8+3×9+4×2+5×1 = 63. Чтобы подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей

, каждая из которых представляет собой так называемую относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строке объём продаж. Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день холодильников:

Если бы в последней формуле относительные частоты рассчитывались не для одного месяца, а для существенно большего срока, то при некоторых условиях (например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можно было бы считать довольно близкими к вероятностям соответствующих значений объёма продаж. Таким образом, приходим к выводу, что математическое ожидание случайной величины – это в некотором смысле её среднее значение. Следует отметить, что случайная величина может вообще не принимать значения, равного её математическому ожиданию. Так, например, случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое – с вероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное нулю.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения

x
Р	p	q

Здесь p + q = 1,

Mx = 1×р + 0×q = р

Свойства математического ожидания.

1. Если случайная величина x принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть x º С, то её математическое ожидание равно С.

2. Если Мx = а, и k – константа, то М(kx) = kа (математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число).

3. Если Мx = а, и k – константа, то М(k + x) = k + а (математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины).

Выведем формулу для математического ожидания суммы двух случайных величин x и h, определённых на одном и том же пространстве элементарных исходов и заданных законами распределения

x	х1	¼	xn		h	y1	¼	yk
Р		¼			Р		¼

М(x + h) = (х₁ + у₁)Р((x = х₁) ∩ (h = у₁))+ (х₂ + у₁)Р((x = х₂) ∩ (h = у₁)) +¼
+(х_i + у_j)Р((x = х_i) ∩ (h = у_j)) + ¼ + (х_n + у_k)Р((x = х_n) ∩ (h = у_k))

Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nk слагаемых. Преобразуем эту сумму следующим образом:

М(x + h) = х₁ Р((x=х₁)∩(h=у₁)) + х₁ Р((x=х₁)∩(h=у₂)) +¼+х₁ Р((x=х₁)∩(h=у_k)) + + х₂Р((x=х₂)∩(h=у₁)) + х₂Р((x=х₂)∩(h=у₂)) +¼ + х₂Р((x=х₂)∩(h=у_k)) + ¼

+ х_nР((x=х_n)∩(h=у₁)) + х_nР((x=х_n)∩(h=у₂)) +¼ + х_nР((x=х_n)∩(h=у_k)) +

+ у₁Р((x=х₁)∩(h=у₁)) + у₁Р((x=х₂)∩(h=у₁)) +¼ + у₁Р((x=х_n)∩(h=у₁)) +

+ у₂Р((x=х₁)∩(h=у₂)) + у₂Р((x=х₂)∩(h=у₂)) +¼ + у₂Р((x=х_n)∩(h=у₂)) + ¼

+ у_kР((x=х₁)∩(h=у_k)) + у_kР((x=х₂)∩(h=у_k)) +¼ + у_kР((x=х_n)∩(h=у_k)) =

= х₁(Р((x=х₁)∩(h=у₁)) + Р((x=х₁)∩(h=у₂)) +¼ + Р((x=х₁)∩(h=у_k))) +

+ х₂(Р((x=х₂)∩(h=у₁)) + Р((x=х₂)∩(h=у₂)) +¼ + Р((x=х₂)∩(h=у_k))) +¼ +

+ х_n(Р((x=х_n)∩(h=у₁)) + Р((x=х_n)∩(h=у₂)) +¼ + Р((x=х_n)∩(h=у_k))) +

+ у₁(Р((x=х₁)∩(h=у₁)) + Р((x=х₂)∩(h=у₁)) +¼ + Р((x=х_n)∩(h=у₁))) +

+ у₂(Р((x=х₁)∩(h=у₂)) + Р((x=х₂)∩(h=у₂)) +¼ + Р((x=х_n)∩(h=у₂))) + ¼

+ у_k(Р((x=х₁)∩(h=у_k)) + Р((x=х₂)∩(h=у_k)) +¼ + Р((x=х_n)∩(h=у_k))) =

= х₁Р(x=х₁) + х₂Р(x=х₂) +¼+ х_n Р(x=х_n) +

+ у₁Р(h=у₁) + у₂Р(h=у₂) +¼+ у₁Р(h=у₁) = Mx + Mh

При выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например, событие x=х₁ можно представить в виде объединения несовместных событий (x=х₁)∩(h=у₁), (x=х₁)∩(h=у₂), ¼, (x=х₁)∩(h=у_n).

Пример.

Заданы n одинаково распределённых случайных величин x₁, x₂, ¼, x_n с законом распределения

Таблица 1	xi
	P	p	q

Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин.

Решение.

M( ) = = np