Обычно пользуются соотношением, написанным в виде

P(g₁ⁿS < s < g₂ⁿS) = a. (41)

При выбранном значенииa соответствующие значения g₁и g₂ находятся из табл. IV.

Приведемдва примера пользования табл. IV.

1. Средняя квадратическая погрешность, определенная из 5 измерений, равна 2. Нужно вычислить доверительный интервал для s с надежностью 0.95. Из табл. IV для n = 5 иa = 0.95 имеем g₁ = 0.6 и g₂ = 2.9.

Для s можем написать выполняемое с вероятностью 0.95 неравенство:

0.6´2 < s < 2.9´2 или 1.2 < s < 5.7.

Мы видим, что границы, в которых лежит s, очень широки и асимметричны (интервал от 2 до 1.2 почти в пять раз меньше ин­тервала от 2 до 5.7).

2. При 40 измерениях g₁ = 0.8, g₂ = 1.3 и получаем для s неравенство

1.6 < s < 2.6.

Интервал этот значительно более узкий и почти симметричный.

Если пользоваться при n = 40 формулой (38), то

⁴⁰S_s = s/[2×(n – 1]^1/2 = 2/78^1/2 » 2.

Доверительной вероятности 0.95 соответствует погрешность s_s, и для s  можно с вероятностью 0.95 написать: 1.55 < s < 2.45.

Как видим, в этом случае оценки, сделанные по строгим и при­ближенным формулам, практически не различаются между собой. Легко показать, что при 5 или 10 измерениях это различие бу­дет весьма значительным.

Положим, что есть два ряда измерений одной и той же величи­ны: один ряд содержит n_1, другой – n₂ измерений. Для этих рядов получены дисперсии ⁿ¹S₁² и ⁿ²S₂².

Обозначения выберем так, чтобы S₁² было больше S₂². Определим величину J следую­щим образом:

J = [(n₂ – 3)/(n₂ – 1)]´[ⁿ¹S₁²/ⁿ²S₂²] . (42)

Можно показать, что

s_J=[2×(n₁ + n₂ – 4)/(n₁ – 1)(n₂ – 5)]^1/2.(43)

Положим

R = |J – 1|/s_J.

Это число характеризует, существенно или несущественно различают­ся между собой выборочные дисперсии S₁² и S₂². Если R > 3, то расхождение между S₁ и S₂ существенно. Если R < 3, то – несущественно. Такой критерий, предложенный В.И. Романовским [15] и носящий его имя, соответствует уровню значимости 0.01. Другой критерий – критерий Фишера (см., например, [l8] позволя­ет с помощью специальных таблиц сличать дисперсии при разных уровнях значимости. В практической работе можно рекомендовать более простой критерий Романовского. В качестве примера приве­дем сопоставление результатов определения содержания углерода в ряде проб одного и того же соединения [11].

Было выполнено две серии измерений разными лаборантами: в одной серии сделано 20 определений, в другой – 13. Результаты сведены в табл.5.

Таблица 5. Сравнение результатов анализа

Номер измерения	Содержание C, %	Номер измерения	Содержание C, %
Серия 1	Серия 2	Серия 1	Серия 2
	4.40	4.42		4.66	4.57
	4.66	4.47		4.53	4.58
	4.42	4.70		4.90	4.66
	4.59	4.72		4.50
	4.55	4.53		4.66
	4.45	4.55		4.80
	4.55	4.60		4.36
	4.39	4.64		4.75
	4.75	4.29		4.28
	4.72	4.52		4.45

Отсюда S₁² /S₂² = 2.12, п₁ = 20, n₂ = 13, J = 1.77, s_J = 0.62, R = 1.24 < 3.

Следовательно, разницу в точности анализов двух лаборантов нельзя считать значимой.

9. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Пусть для двух рядов измерений одной и той же величины полу­чены значения <x>₁ и <x>₂. По прежнему полагаем, что <x>₁ определе­но из n₁ а <x>₂ из n₂ измерений. В каком случаеможно счи­тать расхождение между <x>₁ и <x>₂ значимым, в каких – случайным?

Иначе говоря, следует установить, насколько значимо |<x>₁ – <x>₂| отлично от нуля.

Дисперсии S₁² и S₂² величин x_1i и x_2k равнысоответственно

ⁿ¹S² = _iS^п1(<x>₁ – x_1i)²/(n₁ - 1) и ⁿ²S² = _iS^п2(<x>₂ – x_2k)²/(n₂ – 1) (44)

Дисперсия S ² разности (<x>₁ – <x>₂) будет

S² = [(n₁ – 1)S₁² + (n₂ – 1)S₂²]/[(n₁ – 1) + (n₂ – 1)].

Можно показать, что величина

t = [(<x>₁ – <x>₂)/S]×[n₁n₂/(n₁ + n₂)]^1/2 (45)

– это тот же коэффициент Стьюдента, который используется для определе­ния доверительного интервала при небольшом числе изме­рений.

Определим, значимо ли расхождение результатов двух серий анализов, приведенных в табл.5.

Из нее следует

<x>₁ = 4.5655, <x>₂ = 4.5577, <x>₁ – <x>₂ = 0.008.

²⁰S² = 0.003, ¹³S² = 0.014, S² = (0.003´19 + 0.014´13)/31 = 0.008.