Алгебраические операции с матрицами. Перестановки и подстановки
Лекция 1
1. Матрицы. Алгебраические операции с матрицами
Определение 1.Матрицей A размерности s n называется прямоугольная таблица из s n чисел, состоящая из s строк и n столбцов.
Здесь: - элемент матрицы,
i – номер строки,
j – номер столбца.
Обозначения матриц:
Пример. - матрица порядка 2 3;
Типы матриц:
1. квадратная матрица;
2. нуль-матрица;
3. ; A – диагональная матрица; элементы главной диагонали;
4. единичная матрица;
5. ;
верхняя треугольная матрица;
6. ;
нижняя треугольная матрица;
Пример.
1. - единичная матрица первого порядка;
2. - диагональная матрица;
3. - верхняя треугольная матрица;
Определение 2. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность s n и выполнено условие , . Тогда матрицы А и В называются равными матрицами.
Обозначение: А=В.
Определение 3. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность s n . Суммой матриц А и В называется матрица С размерности s n
такая, что
Обозначение: С=А+В.
Определение 4. Произведением матрицы А порядка s n на вещественное число называется матрица С той же размерности .
Обозначение: C= A
Пример.
Свойства линейных операций над матрицами
1.А+В=В+А;
2.(А+В)+С=А+(В+С);
3.
4.
5.
Определение 5. Разностью матриц А и В порядка s n называется матрица С порядка s n такая, что А= В+С.
Обозначение: С=А-В
Определение 6. Произведением матриц А и В порядка s n и n p соответственно называется матрица С порядка s p такая, что
Обозначение: С=АВ
Замечание. Вообще говоря, . Матрицы А и В, произведение которых обладает свойством АВ=ВА, называются коммутирующими. Например, единичная матрица Е коммутирует со всеми квадратными матрицами соответствующей размерности: АЕ=ЕА=А.
Примеры.
1.
| 1 1 |
| 1 3 |
| 3 1 |
2.
| 2 2 |
| 2 2 |
| 2 2 |
;
;
;
.
Определение 7. Матрица В порядка s n называется транспонированной матрицей А порядка n s , если выполнено Переход от матрицы А к транспонированной матрице называется транспонированием.
Обозначение:
Замечание. При транспонировании матрицы А столбцы матрицы А становятся строками матрицы с теми же номерами.
Пример. .
2. Перестановки и подстановки. Понятия инверсии и четности
Обозначим М={1,2,…,n} – множество первых n натуральных чисел.
Определение 1. Перестановкой n-го порядка называется упорядоченная последовательность элементов множества М, взятых без пропусков и повторений: где элемент множества М,
Пример. Пусть n=3 => M = {1,2,3}.
Запишем все возможные перестановки 3-го порядка:
Отсюда получим, что существует 6 различных перестановок 3-го порядка. Справедливо следующее утверждение:
Утверждение. Cуществует n! различных перестановок n-го порядка.
Определение 2. Элементы и перестановки образуют беспорядок (инверсию) в перестановке, если но при этом .
Число инверсий в перестановке обозначим N
Пример. Найдем число инверсий в перестановке (4 3 1 2). Выпишем пары элементов образующих инверсии:
Отсюда N(4312)=5.
Определение 3. Взаимная перестановка элементов , (не обязательно соседних) называется их транспозицией (при этом остальные элементы фиксированы).
Определение 4.Перестановка ( ) называется четной (нечетной), если число N( ) является четным (нечетным).
Утверждение. Любая транспозиция элементов меняет четность перестановки.
Доказательство. Справедливость утверждения очевидна для транспозиции соседних элементов. Рассмотрим случай транспозиции несоседних элементов. Такую транспозицию можно выполнить, произведя 2s+1 транспозицию соседних элементов. Четность перестановки меняется нечетное число раз, следовательно, окончательно четность изменится.
▲
Определение 5. Подстановкой n-го порядка называется взаимно однозначное отображение множества M={1,2,…,n} самого в себя.
Подстановку n-ого порядка запишем в виде
p= .
Эту запись понимаем так: элемент переходит в переходит в . Существует несколько записей одной и той же подстановки.
Определение 6.Пусть N(p) = N( ) + N( ). Подстановка p называется четной (нечетной), если N(p) – четное (нечетное) число.
Замечание. Все записи одной и той же подстановки имеют одинаковую четность. Действительно, различные записи подстановки отличаются порядком столбцов. Перестановка двух столбцов состоит из двух транспозиций элементов верхней и нижней строк, при этом четности верхней и нижней перестановок изменятся, следовательно, окончательно четность подстановки не изменится.
Пример. Определим четность постановки p= .
Переставим столбцы в подстановке так, чтобы верхняя перестановка имела натуральный порядок (при этом четность перестановки не изменится):
p=
N( )= N(1 2 3 4 ) + N(4 3 2 1)= 0+ 6 = 6 = N(p).
Подстановка p является четной.