Алгебраические операции над событиями

Так как случайные события есть множества, то к ним применимы операции пересечения, объединения и дополнения множеств.

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называется суммой (объединением) событий А и В и обозначатся А+В (А Алгебраические операции над событиями - student2.ru В).

Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется произведением (пересечением) этих событий и обозначается АВ ( Алгебраические операции над событиями - student2.ru ).

Разностью событий А–В (А\В) называется событие, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих В. Оно состоит в том, что А произошло, а В не произошло.

Если А – событие, то противоположным к нему называют событие, обозначающееся Алгебраические операции над событиями - student2.ru и состоящее из тех элементов, которые не принадлежат А; Алгебраические операции над событиями - student2.ru , т.е. Алгебраические операции над событиями - student2.ru происходит в том и только том случае, когда А не происходит. Для противоположных событий одновременно выполняются два условия: а) Алгебраические операции над событиями - student2.ru - достоверное событие, б) Алгебраические операции над событиями - student2.ru - невозможное событие.

Два события называются совместными (несовместными), если в результате их осуществления возможно (или невозможно) их совместное осуществление, т.е. для несовместных событий выполняется: Алгебраические операции над событиями - student2.ru Ø.

События Алгебраические операции над событиями - student2.ru называют полной группой несовместных событий, если:

1. Алгебраические операции над событиями - student2.ru Ø для Алгебраические операции над событиями - student2.ru ,

2. Алгебраические операции над событиями - student2.ru Ø для Алгебраические операции над событиями - student2.ru ,

3. Алгебраические операции над событиями - student2.ru .

Замечание: Операции суммы и произведения аналогично определяются для любого числа событий.

Статистическое, классическое и геометрическое определение вероятности.

Рассмотрим случайный эксперимент с Ω – пространством элементарных исходов и А – случайным событием этого эксперимента. Повторим эксперимент Алгебраические операции над событиями - student2.ru раз, предполагая отсутствие влияния результата каждого из проведенных экспериментов на результат другого. Пусть Алгебраические операции над событиями - student2.ru - число экспериментов, в которых произошло событие А.

Статистическая вероятность.

Статистической вероятностью (частотой) события А в проведенной серии экспериментов называется число

Алгебраические операции над событиями - student2.ru . (1)

Свойства:

1. Алгебраические операции над событиями - student2.ru ;

2. Алгебраические операции над событиями - student2.ru ;

3. Алгебраические операции над событиями - student2.ru (Ø) = 0;

4. если А и В несовместны, то Алгебраические операции над событиями - student2.ru (для любого числа событий).

5. Алгебраические операции над событиями - student2.ru обладает свойством устойчивости при Алгебраические операции над событиями - student2.ru , т.е. в различных сериях испытаний при больших п соответствующие частоты Алгебраические операции над событиями - student2.ru практически совпадают, группируясь около некоторого постоянного значения Алгебраические операции над событиями - student2.ru , называемого вероятностью.

Классическая вероятность.

Если пространство элементарных событий Ω, соответствующее случайному Э, удовлетворяет условиям:

1. множество Ω конечно: Алгебраические операции над событиями - student2.ru ;

2. все элементарные события равновозможны: Алгебраические операции над событиями - student2.ru ;

3. элементарные события попарно-несовместны и образуют полную группу событий.

Тогда вероятность любого события можно вычислить по формуле:

Алгебраические операции над событиями - student2.ru , (2)

где n – общее число исходов (событий) испытания; m – число событий, благоприятных событию А.

Свойства:

1. Алгебраические операции над событиями - student2.ru ;

2. Алгебраические операции над событиями - student2.ru ;

3. Алгебраические операции над событиями - student2.ru (Ø) = 0:

4. если А и В несовместны, то Алгебраические операции над событиями - student2.ru (для любого числа событий).

Примеры:

(Пр.5): Алгебраические операции над событиями - student2.ru ,

(Пр.6): Алгебраические операции над событиями - student2.ru .

Геометрическая вероятность.

Пусть проведен эксперимент, пространство элементарных исходов которого бесконечно. В этом случае нельзя воспользоваться классическим определением вероятности. В таких случаях вводят понятие геометрической вероятности – обобщение классической вероятности, т.е. вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоской области, часть пространственной области и т.д.)

Пусть Алгебраические операции над событиями - student2.ru - фигура в Алгебраические операции над событиями - student2.ru , Алгебраические операции над событиями - student2.ru .

Будем считать условия Э такими, что Алгебраические операции над событиями - student2.ru не зависит от местоположения Алгебраические операции над событиями - student2.ru в Алгебраические операции над событиями - student2.ru и пропорционально мере Алгебраические операции над событиями - student2.ru . Тогда:

Алгебраические операции над событиями - student2.ru , (3)

где Алгебраические операции над событиями - student2.ru - мера фигуры Алгебраические операции над событиями - student2.ru , Алгебраические операции над событиями - student2.ru - мера фигуры Алгебраические операции над событиями - student2.ru .

Наши рекомендации