Точки разрыва первого и второго рода
Нечётные функции
Нечётная степень где — произвольное целое число.
· Синус .
· Тангенс .
·
Чётные функции
Чётная степень где — произвольное целое число.
· Косинус .
· Абсолютная величина (модуль) .
Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
· Говоря более формально, функция называется периодической, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .
· Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство , где - любое целое число.
· Все тригонометрические функции являются периодическими.
3) Нули (корни) функции — точки, где она обращается в ноль.
Нахождение точки пересечения графика с осью Oy. Для этого нужно вычислить значение f(0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox, для чего найти корни уравнения f(x) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).
Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции. Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс», при которых функция обращается в ноль.
4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ оси абсцисс.
НИЖЕ оси .
5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Устранимые точки разрыва
Если предел функции существует, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:
,
то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе —устранимая особая точка).
Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:
· если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;
· если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.
Аси́мпто́та — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
1.
2.
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов
1.
2.
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
если в п. 2.), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .
6) Нахождение промежутков монотонности.Найти интервалы монотонности функции f(x)(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x). Для этого находят производную f (x) и решают неравенство f (x) 0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f(x)возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x) 0, функция f(x)убывает.
Нахождение локального экстремума.Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b](продолжение)
| 1.Найти производную функции: f (x). 2.Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x)=0 x1, x2,... 3.Определить принадлежность точек х1, х2, …отрезку [a; b]: пусть x1 a;b , а x2 a;b . 4.Найти значения функции в выбранных точках и на концах отрезка:f(x1), f(x2),..., f(xa),f(xb), 5.Выбор наибольшего и наименьшего значений функции из найденных. Замечание. Если на отрезке [a; b] имеются точки разрыва, то необходимо в них вычислить односторонние пределы, а затем их значения учесть в выборе наибольшего и наименьшего значений функции. |
7) Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости. Это делается с помощью исследования знака второй производной f (x). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя f (x) , мы решаем неравенство f (x) 0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство f (x) 0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).
Точка перегиба функции — это точка, в которой функция непрерывна и при переходе через которую функция меняет направление выпуклости.
Условия существования
Необходимое условие существования точки перегиба: если функция дважды дифференцируемая в некоторой выколотой окрестности точки , то или .