Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

Пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида ) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базы создадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак вместо .

1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность и при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) . Докажем эту эквивалентность:

4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу.

5) . Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем:

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) ( ). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

7) ( ). Для доказательства сделаем замену и выразим через : . Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на , чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней .

1)	.
2)	.
3)	.
4)	.
5)	.
6)	( ).
)	.
7)	( ).
)	.

Приведём примеры применения табличных формул для раскрытия неопределённостей вида .

Пример 2.37 Вычислим предел . Для этого в числителе вынесем за скобку , а к знаменателю применим формулу , где , . Получим

Мы заменили на эквивалентную величину (учтя при этом, что при ), на эквивалентную величину (учтя, что при ), затем сократили числитель и знаменатель на и, наконец, воспользовались тем, что функции и непрерывны и что и .

Пример 2.38 Вычислим предел

Заменим в числителе на эквивалентную величину , а знаменатель -- на эквивалентную величину . После этого можно будет сократить дробь на и получить ответ:

Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе . Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах и . Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе (или , или ) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями.

Пример 2.39 Вычислим предел .

Если сделать замену , то при новая переменная будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база перейдёт при такой замене в "стандартную" базу . Подставляя и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем:

Мы применили табличную формулу , а затем сократили дробь на и получили ответ.

Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.

Пример 2.40 Можно, например, получить следующую формулу:

Здесь мы последовательно воспользовались формулами

и учли, что величины , , , являются бесконечно малыми при .

Используя полученную в результате эквивалентность