Доказательство

Покажем, что ряд сходится.

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

x достаточно близко к x0.

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru модуль Доказательство - student2.ru

Теорема о непрерывности суммы функционального ряда

Теорема. Если все члены ряда Доказательство - student2.ru (1) - непрерывные на [a;b] ф-ции, а ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [a;b].

Док-во: Пусть Доказательство - student2.ru - произв.точка [a;b]. Для опр-ности будем считать, что Доказательство - student2.ru (a;b). Нужно док-ть, что S(x)= Доказательство - student2.ru непрерывна в Доказательство - student2.ru , т.е Доказательство - student2.ru Доказательство - student2.ru Доказательство - student2.ru Доказательство - student2.ru < Доказательство - student2.ru (2), Доказательство - student2.ru [a;b]. По усл-ю, ряд (1) равномерно сх-ся на [a;b], т.е Доказательство - student2.ru Доказательство - student2.ru n Доказательство - student2.ru Доказательство - student2.ru [a;b] Доказательство - student2.ru Доказательство - student2.ru < Доказательство - student2.ru (3), где Доказательство - student2.ru = Доказательство - student2.ru . Фиксируем номер Доказательство - student2.ru , тогда при n= Доказательство - student2.ru из (3) получаем: Доказательство - student2.ru < Доказательство - student2.ru (4). В частности, при x= Доказательство - student2.ru находим Доказательство - student2.ru < Доказательство - student2.ru (5). Ф-ция Доказательство - student2.ru (x) непрерывна в Доказательство - student2.ru как сумма конечного числа непрерывных ф-ций. По опр-ю непрерывности Доказательство - student2.ru Доказательство - student2.ru [a;b] Доказательство - student2.ru Доказательство - student2.ru < Доказательство - student2.ru (6). Восп. рав-вом S(x)-S( Доказательство - student2.ru )=(S(x)- Доказательство - student2.ru (x))+( Доказательство - student2.ru (x)- Доказательство - student2.ru ( Доказательство - student2.ru ))+( Доказательство - student2.ru ( Доказательство - student2.ru )-S( Доказательство - student2.ru )). Отсюда получаем, исп. (4)-(6) и нер-во треугольника : Доказательство - student2.ru < Доказательство - student2.ru , для Доказательство - student2.ru [a;b], т.е справедливо утв-е (2). В силу произвольности точки Доказательство - student2.ru ф-ция S(x) непрерывна на отрезке [a;b].

Теорема о почленом интегрировании функционального ряда

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Наши рекомендации