Доказательство

Из существования производной (см.*):

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Что и означает, согласно определению 1 параграфа 22, что функция является непрерывной в точке x0.

Замечание 1. Обратное утверждение в общем случае неверно: функция не обязательно имеет производную во всех точках, в которых непрерывна.

Пример1:

Зададим функцию Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Зададим функцию в точке f(0)=|0|=0 => функция в точке 0 непрерывна.

Доказательство - student2.ru

Посмотрим, будет ли она иметь производную в этой точке, для этого вычислим правую и левую производную.

Доказательство - student2.ru

Доказательство - student2.ru

Так как Доказательство - student2.ru , то производной в этой точке не существует. Более того, можно построить пример такой функции, которая будет непрерывна во всех точках числовой оси, но не будет иметь производных во всех этих точках. Однако это довольно сложная, объемная процедура.

Замечание 2. Заметим, что теорема 1 гарантирует непрерывность функции, имеющей производную в точке x, только в самой точке x0, но не во всей ее окрестности.

Наши рекомендации