Основные теоремы дифференциального исчисления

Ниже мы увидим, что знание первой производной или производной более высокого порядка позволяет дать заключение о поведении функции. Но предварительно рассмотрим несколько основных теорем дифференциального исчисления.

Теорема 16.6. (Ферма) Пусть функция определена на интервале и во внутренней точке этого интервала принимает наибольшее или наимень-шее значение. Если существует конечная производная , то .

Доказательство. Пусть в точке принимает наибольшее значение, т.е. для . По определению производной

.

Этот предел не зависит от того, приближается x к слева или справа.

Разность , следовательно, при

,

а при

.

Переходим к пределу:

, .

Так как по условию существует, то односторонние производные равны и .

,

В доказательстве теоремы существенно, что - внутренняя точка интервала , так как мы рассматриваем точки справа и слева от . Если совпадает с концом промежутка, то производная может быть и не равна нулю. Например, функция на отрезке , а не на интервале , наибольшее значение достигает при . Однако . Тогда .

Теорема 16.7. (Ролля) Пусть задана функция и пусть она:

1) определена и непрерывна на ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) имеет равные значения на концах отрезка, т.е. .

Тогда найдется хотя бы одна точка , что .

Доказательство. Пусть непрерывна на , следовательно, достигает наибольшего M и наименьшего m значений, т.е. . Рассмотрим два случая.

1. . Тогда , , , и любую точка из можно принять за c.

2. . Так как , то M и m не достигаются оба на концах отрезка, т.е. хотя бы одно достигается в точке . А по теореме Ферма .

,

Все условия теоремы Роля существенны. Если хотя бы одно из них не выполняется, то теорема тоже не будет выполняться. Например, для функции на отрезке условия 1 и 3 выполняются. На отрезке функция определена и непрерывна (первое условие), (третье условие). Но в точке функция не дифференцируема. Значит, теорема Ролля не выполняется.

Теорема 16.8. (Коши) Пусть заданы функции и и пусть:

1) они обе определены и непрерывны на ;

2) существуют и на ;

3) на .

Тогда найдется такая точка , что выполняется равенство

.

Доказательство. Очевидно, что . Так как если бы , функция удовлетворяла бы теореме Ролля и нашлась бы точка c между a и b, такая, что , а это противоречит условию на .

Введем вспомогательную функцию

.

Она удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно,

1) определена и непрерывна на ;

2) существует на ;

3) .

Следовательно, существует точка , такая, что . Действитель-но,

или

,

т.е.

.

,

Теорема 16.9. (Лагранжа) Пусть заданы функции и пусть она:

1) определены и непрерывны на ;

2) имеет конечную производную на .

Тогда найдется такая точка , что выполняется равенство

.

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив , находим .

Подставляя эти значения в формулу , получаем или .

,

Формулу еще называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа называются теоремами о средних значениях. Это значит, что для каждого отрезка существует по крайней мере внутренняя точка (не обязательно в середине отрезка!), для которой эти теоремы выполняются.

Правило Лопиталя

Во многих случаях отыскание предела функции в точке или на бесконечности приводит к неопределенностям вида , , , , , , , для раскрытия которых можно использовать понятие производной. Введем правило Лопиталя.

Теорема 16.10. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности )

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемые в окрестности точки . Пусть и в указанной окрестности и , . Тогда, если существует (конечный или бесконечный), то существует и имеет место равенство

. (16.15.)

Доказательство. Доопределим функции и в точке , полагая . Тогда они будут непрерывны в точке . Применим к ним теорему Коши на отрезке и получим

,

где точка c удовлетворяет условию или . Если , то поэтому, согласно условию теоремы,

.

,

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания. 1) Теорема 16.10. справедлива и в том случае, когда . Действи-тельно, положив , получим

.

2) Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и функции и теорему 16.10. можно применить еще раз:

и т.д.

Пример 16.17. Найти .

Решение. .

,

Теорема 16.10. дает возможность раскрыть неопределенность вида . Сформу-лируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида .

Теорема 16.11. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности )

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемые в окрестности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности , , и . Тогда, если существует (конечный или бесконечный), то существует и имеет место равенство

. (16.16.)

Пример 16.18. Найти .

Решение. Способ 1.

Способ 2.

.

,

Пример 16.19. Найти .

Решение.

.

,