Аналитическое решение дифференциальных уравнений

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options), где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение y''+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командойrhs(%).

Например, найдем общее решение дифференциального уравнения y'+ycosx=sinxcosx.

>restart;

>de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);

de:= Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

>dsolve(de,y(x));

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru 1

Итак, решение искомого уравнения есть функция Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru 1.

Замечание: при записи решения диффреренциального уравнения в Maple в строке вывода произвольная постоянная обозначена как _С1.

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y''-2y'+y=sinx+e-x.

>restart;

>deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x)+exp(-x);

deq:= Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

>dsolve(deq,y(x));

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Замечание: так как исходное уравнение было второго порядка, то полученное решение содержит две произвольные константы, которые в Maple обычно обознаются как _С1 и _С2. Первые два слагаемых представляют собой общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а вторые два – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Найти общее решение дифференциального уравнения порядка y''+k2y=sin(qx) в двух случаях: q¹k и q=k (резонанс).

>restart; de:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=sin(q*x);

>dsolve(de,y(x));

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Теперь найдем решение в случае резонанса. Для этого перед вызовом команды dsolve следует приравнять q=k.

>q:=k: dsolve(de,y(x));

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Замечание: в обоих случаях частное решение неоднородного уравнения и общее решение, содержащее произвольные постоянные, выводятся отдельными слагаемыми.

Команда dsolve предоставляет возможность найти фундаментальную систему решений (базисные функции) дифференциального уравнения. Для этого в параметрах команды dsolveследует указать output=basis.

Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения: y(4)+2y''+y=0.

>de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0;

de:=Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

>dsolve(de, y(x), output=basis);

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Команда dsolve может найти решение задачи Коши или краевой задачи, если помимо дифференциального уравнения задать начальные или краевые условия для неизвестной функции. Для обозначения производных в начальных или краевых условиях используется дифференциальный оператор Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru , например, условие y''(0)=2 следует записать в виде Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru , или условие y'(1)=0: Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru . Напомним, что производная n-го порядка записывается в виде Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru .

1. Найти решение задачи Коши: y(4)+y''=2cosx, y(0)=-2, y'(0)=1, y''(0)=0, y'''(0)=0.

>de:=diff(y(x),x$4)+diff(y(x),x$2)=2*cos(x);

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

>cond:=y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=0, (D@@3)(y)(0)=0;

cond:=y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D(2))(y)(0)=0, (D(3))(y)(0)=0

>dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=-2cos(x)-xsin(x)+х

2. Найти решение краевой задачи: Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru , Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru , Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru . Построить график решения.

>restart; de:=diff(y(x),x$2)+y(x)=2*x-Pi;

de:= Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

>cond:=y(0)=0,y(Pi/2)=0;

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

>dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=2x-p+pcos(x)

Замечание: для построения графика решения предварительно следует отделить правую часть полученного выражения.

>y1:=rhs(%):plot(y1,x=-10..20,thickness=2);

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Контрольные задания

При выполнении контрольных заданий студенту необходимо подставить вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики:

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru - число букв в фамилии студента,

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru - число букв в полном имени студента,

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru - номер студента по списку в журнале.

В отчете на титульном листе и на первой странице работы необходимо обязательно указать, какие анкетные данные использовались при выполнении контрольных заданий (имя, фамилия, номер варианта).

1. Выяснить сходимость рядов и найти их суммы

a) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

b) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

c) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

2. Найти сумму рядов, указать область сходимости

а) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

б) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

3. Вычислить следующие произведения

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

4. Вычислите пределы

а)* Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

б) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

в) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

5. Найти пределы функции Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru при Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru и при Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru .

6. Построить график функции

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru . Найти Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru .

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru Найти все частные производные 2 – ого порядка функции

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru .

9. Найти точки разрыва функции Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru . Определить вид точек разрыва.

10. Графическим методом найти на [-10,5] количество точек максимума и минимума функции

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

11. Найти на области определения функции ее точки экстремума, максимумы, минимумы. Имеет ли данная функция наибольшее и наименьшее значения, если да, то указать их значения

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

12. Вычислить неопределенные интегралы

а) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru . б) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru в) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

13. Вычислить несобственные интегралы

а) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

14. Численно найти интегралы.

а) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru б) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

15. Вычислить двойной интеграл Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru по области Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

16. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

б) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

17. Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения:

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

18. Найти решение задачи Коши:

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru , Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

19. Вычислите

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

20. Запишите в тригонометрической и показательной форме комплексные числа

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

21. Найдите алгебраическую запись

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

22. Даны векторы Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru , Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru , Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru . Выполнить следующие задания:

а) найти Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

б) найти Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

в) найти угол между векторами Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru и Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru .

23.Даны матрицы Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru , Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru Вычислить:

a) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru б) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru в) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

24. Вычислить определители для следующих матриц:

а) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru б) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

25. Найти обратные для следующих матриц:

a) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru б) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

26. Дана матрица Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

a) Привести матрицу С к треугольному виду.

б) Вычислить M23

в) Найти ранг матрицы.

27. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A= Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

28.Решить матричные уравнения:

а) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru б) Аналитическое решение дифференциальных уравнений - student2.ru

Наши рекомендации