Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией

Мы будем рассматривать среды обладающие центром симметрии, т.е. проводить инверсию относительно точки – это упрощает запись тензора Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru . Тензор Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru может быть разложен на два независимых тензора Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru :

Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru

Можно показать, что Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru . Тогда продольные волны могут существовать при Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru . А поперечные волны могут существовать при Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru и Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru .

Если рассчитать для Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru выражение Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru , то получается уравнение Френеля:

Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru

Получаем два корня данного уравнения: Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru и Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru , которые мы берём по абсолютному значению, т.е. в кристалле распространяются две поперечные волны.

В случае Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru решение уравнения Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru может быть упрощено:

Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru

Тогда для поперечной составляющей:

Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru

для продольной ( Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru ):

Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru

Тогда из

Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru

получаем

Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru

Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru

Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru

Здесь два одинаковых решения, т.к. среда изотропная.

Уравнение (***) трансцендентное, оно решается методом последовательных приближений. В нулевом приближении можно взять Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией - student2.ru .

Наши рекомендации