Волновое уравнение в случае среды с пространственной дисперсией

Запишем уравнения Максвелла для данного случая:

(2)

(3)

и уравнение связи . Если сторонних токов нет, то можно ещё привлечь закон Ома .

Из (2) и (3) получим волновые уравнения. Подействуем операторами:

на (2)

на (3)

тогда получаем:

(4)

(5)

Правая часть в выражении (4) и левая часть в выражении (5) совпадают, тогда:

(6)

(6) удобно записать в виде:

где - некоторый тензор.

Распишем в компонентах:

, тогда

где оператор - тензорный, дифференциальный оператор, он учитывает пространственную дисперсию.

Любое поле можно разложить по плоским монохроматическим волнам. Тогда решение уравнения сводится к нахождению и рассмотрению плоских монохроматических волн, этим плоским монохроматическим волнам соответствуют поля следующего типа:

Разложение в ряд Фурье:

Операторы заменяем по правилу:

Последнее правило действует в случае плоских монохроматических волн. Тогда имеем выражение:

Здесь введён тензор , который определяется следующим образом:

Решение уравнения зависит и от оператора в левой части, и от правой части. При мы имеем в решении нормальные волны (эти волны идут без источников).