Предмет теории вероятностей. Случайные события.

Оглавление

Глава 1. Основные понятия и формулы теории вероятностей………………………………………….. 5

§ 1. Предмет теории вероятностей. Случайные

события ………………………………………. 5

§ 2. Вероятность случайного события …………... 8

§ 3 Алгебра событий …………………………….. 12

§ 4 Формула сложения вероятностей …………… 17

§ 5 Аксиоматический подход к теории

вероятностей ………………………………… 19

§ 6 Классическая схема теории вероятностей …. 24

§ 7 Геометрические вероятности ……………….. 26

§ 8 Условная вероятность. Независимость

случайных событий …………………………. 29

§ 9 Формула полной вероятности. Формулы

Байеса ……………………………………….... 39

§ 10 Комбинаторика ………………………………. 42

§ 11 Схема Бернулли ……………………………..... 49

§ 12 Вероятности при больших значениях n.

Глава 2. Случайные величины и их характеристики62

§ 1 Случайная величина и её функция

распределения .................................................. 62

§ 2 Дискретные случайные величины ................. 67

§ 3 Непрерывные случайные величины .............. 70

§ 4 Функции от случайной величины .................. 78

§ 5 Системы случайных величин ………………. 81

§ 6 Независимые случайные величины ………... 89

§ 7 Математическое ожидание случайной

величины …………………………………….. 94

§ 8 Дисперсия случайной величины ………….... 109

§ 9. Корреляционный момент и корреляция

случайных величин ……………………………. 113

Глава 3. Закон больших чисел и центральная

предельная теорема……………………… 119

§ 1 НеравенствоЧебышева ……………………... 119

§ 2 Закон больших чисел ………………………... 123

§ 3 Центральная предельная теорема Ляпунова и

её следствия …………………………………129

Задачи по теории вероятностей …………………… 138

Индивидуальные задания № 1 по теории

вероятностей …………………………………………… 153

Индивидуальные задания № 2 по теории

вероятностей …………………………………………... 166

Таблица значений функции …….. 183

Таблица значений для функции

................................................... 185

Степени числа e ....................................................... 188

Таблица значений функции ………………..... 189

Глава I. Основные понятия и формулы теории вероятностей.

Предмет теории вероятностей. Случайные события.

Предметом теории вероятностей являются модели опытов (экспериментов, наблюдений, испытаний), которые осуществляются, как только создаются определённые совокупности условий.

Примеры опытов:

1) бросание монеты 20 раз,

2) покупка лотерейного билета,

3) приход утром (между 8 и 9 часами) на станцию метро «Новогиреево»,

4) день 1 января,

5) день 1 января 2010 года.

На практике часто встречаются такие ситуации, когда исход проводимого нами опыта нельзя предсказать заранее с полной уверенностью. Например (смотри примеры опытов выше)

1) невозможно предсказать, что герб выпадет ровно 9 раз, или герб выпадет от 7 до 15 раз

2) выпадет ли выигрыш на лотерейный билет с таким-то номером

3) мы будем ждать электропоезд от 20 до 80 секунд

4) невозможно предсказать, что 1 января в Москве пойдёт снег.

Во всех подобных ситуациях мы вынуждены считать результат опыта зависящего от случая, рассматривать его как случайное событие.

Определение. Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить.

Примером случайного события может служить выпадение герба ровно 9 раз в опыте с бросанием монеты 20 раз, выигрыш проданному лотерейному билету, будем ждать поезд от 20 до 80 секунд, совпадение даты рождения (в опыте) у двух наугад выбранных студентов на лекции по теории вероятностей и в данной аудитории.

Случайные события обозначаются в дальнейшем А, В, С и т.д.

Замечание. Согласно данному выше определению, событие считают случайным, если его наступление в результате опыта представляет собой лишь одну из двух возможностей – оно либо наступит, либо не наступит.

События, которые в результате данного опыта всегда наступают, называется достоверными (обозначение I), которые никогда не наступают – невозможными событиями (обозначение Ø).

Теория вероятностей рассматривает модели таких опытов, которые могут быть повторены в одних и тех же условиях (достаточно) неограниченное число раз, т.е. мы будем предполагать, что в принципе возможно создать много раз одни и те же условия, осуществляющие данный опыт.

Случайные события, наступление которых возможно в такого рода опытах, называются массовыми случайными событиями.

Массовые случайные события следует отличать от единичных, обладающих той особенностью, что опыт, с которым связаны эти события, принципиально невоспроизводим. Например, событие «1 января 2010 г. в Москве шел снег» является в этом смысле единичным (исключительным), так как воспроизвести наступление указанного дня много раз невозможно. В то же время событие « 1 января в Москве шёл снег» (без упоминания о годе) является несомненно, массовым: ведь наблюдать погоду в Москве 1 января можно много раз (в течение многих лет).

В самых общих словах предмет теории вероятностей может быть определён следующим образом:

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, присущих массовым случайным событиям.

Оказывается, и случайные события подчиняются некоторым (вероятностным) закономерностям. Исход каждого опыта по отношению к данному событию является случайным, неопределённым. Однако средний результат большого числа опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Например, рассмотрим опыт с бросанием данной монеты. Предположим, что бросание производится много раз подряд. Оказывается «доля» (средний результат) тех бросаний, при которых выпадает герб (т.е. отношение числа таких бросаний к числу всех бросаний) с увеличением числа бросаний приближается к (или другому числу – это зависит от состояния монеты).

Приведём другой пример. В сосуде заключён газ. Находясь в беспрерывном движении, молекулы газа ударяются друг о друга и вследствие этого постоянно меняют величину и направление своей скорости. Казалось бы, отсюда следует, что давление газа на стенки сосуда, обусловленное ударами отдельных молекул о стенки, должно меняться случайным, неконтролируемым образом. Однако это не так: давление газа подчиняется строгой закономерности (закону Бойля-Мариотта). Причина этой закономерности кроется в том, что давление газа на стенки сосуда есть средний результат воздействия большого числа молекул. Случайные особенности, свойственные движению отдельных молекул, в массе (поскольку молекул много) взаимно погашаются, нивелируются и возникает некоторая средняя закономерность.

Именно эта устойчивость среднего результата, его независимость от колебаний отдельных слагаемых (отдельных исходов опыта) и обуславливает широту применения теории вероятностей. Физика, биология, медицина, лингвистика и т.д.- все эти области науки используют (одни в большей степени, другие в меньшей) понятия и выводы теории вероятностей и родственных ей дисциплин - математической статистики, теории информации и т.д.

Перейдём теперь к простейшей, самой главной закономерности в случайных событиях, в конечном счёте, составляющей основу всех приложений теории вероятностей к практике.