Математические модели дискретных каналов связи

Дискретный канал предназначен для передачи дискретных сигналов (символов). При передаче по такому каналу сообщение представляется некоторой последовательностью элементарных дискретных сообщений , принадлежащих конечному множеству. В результате помехоустойчивого кодирования последовательность заменяется другой последовательностью , которая ставится в соответствие сообщению . Последовательность , состоящая из кодовых символов , подается на вход дискретного канала. Кодовые символы обычно (но не всегда) являются цифрами двоичной системы счисления. Таким образом, сообщение на входе дискретного канала может быть представлено последовательностью , где - номер позиции, а - дискретная случайная величина, принимающая значение 0 и 1. Сообщение на выходе дискретного канала также представляется в виде , где , а - аналогичная случайная величина. В идеальном случае, при отсутствии помех и искажений, для всех .

Ограничения на входные символы дискретного канала обычно задаются указанием алфавита символов и скорости их следования. Основной характеристикой дискретного канала является вероятность того или иного изменения символа на данной позиции. Эта характеристика определяется теми преобразованиями, которые претерпевает символ при передаче по каналу:

- смещение во времени (задержка символов);

- отличие на некоторых позициях выходных символов от входных (аддитивные ошибки);

- смещение номеров позиций выходной последовательности относительно номеров входной (ошибки синхронизации);

- появление на некоторых позициях символов стирания (невозможность принять надежное решение по какому-либо символу).

Первый фактор (задержка) является детерминированным или содержит детерминированную и случайную составляющие. Все остальные факторы случайны.

При действии рассмотренных факторов основная характеристика дискретного канала – вероятность искажения символа на определенной позиции – зависит от номера позиции, от значения передаваемого и всех ранее переданных символов.

Так определяются характеристики для нестационарного несимметричного каналас неограниченной памятью. Полное описание таких каналов задается совокупностью условных (переходных) вероятностей вида , т.е. вероятностей того, что выходные символы примут значения , если входные символы имеют значения , где и - номера позиций последовательностей и , - длина конечной последовательности (сообщение).

Естественно, что эти вероятности должны быть известны при любых и . Если рассматриваются стационарные каналы с идеальной синхронизацией, то полное описание канала задается системой переходных вероятностей . Располагая этой системой вероятностей, можно, например, найти такую важную характеристику, как пропускную способность дискретного канала.

В ряде случаев, особенно при анализе методов повышения достоверности, дискретный канал удобно описывать методами случайных процессов, а не заданием системы условных вероятностей рассмотренного вида.

Для канала с идеальной синхронизацией используется понятие потока ошибок. Поток представляет собой дискретный случайный процесс Е (иногда используется термин «последовательность ошибок»). Каждая позиция потока Е складывается по определенному правилу с соответствующей позицией процесса Y.

В общем случае реализации потока ошибок зависят от реализации помех в непрерывном канале, вида модели и реализации процесса Y. Так, например, при стационарном канале и стационарной передаваемой последовательности Y поток ошибок также будет стационарным.

Существует тип дискретного канала, для которого характеристики потока ошибок не зависят от вида информации, передаваемой по каналу. Такой тип канала принято называть симметричным. В этом случае переходные вероятности имеют вид , где - реализация потока ошибок.

Из изложенного следует, что модель двоичного канала это, но сути дела, статистическое описание двоичной последовательности Е. Полное описание таких последовательностей достигается на основе многомерных распределений, например, интервалов между элементами последовательности или через многомерные переходные вероятности. Располагая математической моделью, дающей полное описание ошибок двоичного симметричного канала, можно определить любую характеристику методов повышения достоверности при передаче информации по такому каналу. Наиболее удобный вариант модели для проектирования задается теорией случайных процессов в виде потока ошибок.

Представляется логичным и достаточно удобным рассматривать поток ошибок дискретного канала связи как ступенчатый случайный процесс. Такой подход позволяет при исследовании каналов связи использовать многочисленные важные результаты, полученные для случайных процессов.

Выделим среди различных способов задания потоков следующие два.

Первый способ описания потоков. Для задания потоков ошибок этим способом необходимо для любого натурального числа и произвольного набора чисел , указать r-мерную функцию распределения случайного вектора , где - количество ошибок, появившихся в промежутке времени , или найти

, где - начало отсчета времени.

Таким образом, есть вероятность того, что на последовательно расположенных промежутках времени (откладываемого от момента времени ), появится соответственно ошибок. Это распределение полностью определяет поток ошибок. На практике (1) наиболее часто используется для , что соответствует одномерному распределению числа ошибок в промежутке времени :

.

Для стационарного потока зависимость от отсутствует.

Второй способ описания потоков. Пусть - моменты наступления событий потока ошибок. Можно определить поток, задав распределение - мерного вектора:

Однако часто удобнее получать распределение моментов наступления событий потока не на основе , а несколько иначе. Положим , тогда поток считается заданным, если определено - мерное распределение вектора , т.е.

.

Если , то имеем одномерную функцию распределения интервалов, которая в общем случае может зависеть от номера интервала, что отражается следующим образом:

.

Заметим, что если при первом способе определения потока через независимой переменной (аргументом потока) является время , то при втором через роль аргумента потока играет номер интервала . Соответственно величиной, случайной при фиксированном значении независимой переменной, в первом случае является число событий потока (целочисленная безразмерная величина), во втором - промежуток времени между событиями (непрерывная величина с размерностью времени). Поэтому, строго говоря, при втором способе мы имеем дело не со случайным процессом, а со случайной функцией. Однако, несмотря на такие принципиальные отличия, оба способа равносильны, т.е. поток, заданный одним из рассмотренных способов, однозначно определяется и другим.

К моделям логично предъявить ряд требований:

1. Модель должна по крайней мере в первом приближении давать оценки, совпадающие с экспериментальными данными.

2. Модель используется при проектировании СПД (кодов, оценки времени передачи, и т.д.), поэтому должна быть достаточно простой, экономически обоснованной простой.

3. Должны быть известны конструктивные процедуры оценки параметров модели по экспериментальным данным.

4. Модель должна быть универсальной.

5. Желательно, чтобы в модели отражалась взаимосвязь с физической сущностью.