Оцінка похибки інтерполяції

Згідно з (2.8) різниця між функцією та її інтерполяційним поліномом може бути подана у наступному вигляді:

. (2.11)

Треба звернути увагу, що для визначення розділеної різниці у правій частині використовується вузол і таким чином вона є функцією від .

Розглянемо функцію , де - константа. Нехай похибка оцінюється при і .

Тоді:

, (2.12)

а за теоремою Роля:

у точці,

у точках,

у точці,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

у точці, яку позначимо при чому .

Звідси, диференціюючи (2.11) отримаємо

і .

Зважаючи на (2.12) , (2.13)

де залежить від .

Співвідношення (2.13) дає мажоритарну оцінку похибки інтерполяції:

,

де (2.14)

Порівнюючи (2.11) і (2.13) можна побачити, що

.

Таким чином коефіцієнт у (2.14) можна оцінити по значеннях розділених різниць:

.

Інтерполяція по рівновіддалених вузлах.

В випадку рівномірної сітки вузлів: , де - крок між вузловими значеннями аргументу, а ,інтерполяційні формули спрощуються. Так, замінюючи у формулі Лагранжа

, , де , (2.15)

після очевидних скорочень отримаємо її вигляд для рівновіддалених вузлів:

. (2.16)

В інтерполяційній формулі Ньютона для рівновіддалених вузлів замість розділених різниць використовуються скінчені різниці.

Скінчені різниці.

Нехай знову - вузлові значення функції на рівномірній сітці вузлів. Скінчені різниці першого порядку у -ому вузлі визначаються наступним чином:

-скінчена різниця уперед;

-скінчена різниця назад; (2.17)

- центральна скінчена різниця.

Як видно, скінчена різниця першого порядку є різниця між значеннями функції у двох послідовних вузлах і в залежності від виду відноситься до вузла з меншим номером (уперед), більшим номером (назад), чи до середини інтервалу між вузлами (центральна), тобто:

Скінчені різниці вищого порядку у -ому вузлі визначаються через різниці попереднього порядку наступним чином:

;

; (2.18)

;

.

Очевидно, що у вираз для обчислення значення різниці будуть входити значення функції у вузлах, кількість і розташування яких залежать від виду і порядку різниці.

, (2.19)

де біноміальні коефіцієнти.

Для =2 і =3:

; (2.20)

.

Якщо порівняти відповідні вирази для скінчених (2.7) і розділених різниць (2.18) при рівновіддалених вузлах, можна з’ясувати, що:

. (2.21)

Інтерполяційний поліном НЬЮТОНА для рівновіддалених вузлів

Підставляючи у формулу Ньютона для довільного розташування вузлів (2.9) залежності (2.15) для рівновіддалених вузлів і відповідне подання розділених різниць скінченими (2.21). отримаємо:

. (2.22)

Цю формулу з зрозумілих причин звуть інтерполяційною формулою Ньютона для інтерполювання уперед. Аналогічно, при використанні відповідної послідовності вузлів ( ), отримаємо звуть інтерполяційну формулу Ньютона для інтерполювання назад:

. (2.23)

Інтерполяція поліномами найменшого ухилення

У структурі виразу для оцінки похибки

(2.24)

перший множник головним чином залежить від поведінки функції в межах інтервалу інтерполювання. Другий множник - функція залежить суто від розташування вузлів. Розглянемо як поводить себе ця функція при рівномірній сітці вузлів і різній їх кількості.

Як видно, зі збільшенням кількості вузлів, на яких визначається інтерполяційний поліном, тобто зі зростанням його степеня, зростають екстремальні значення функції . Це може привести до зростання похибки інтерполяції, якщо значення першого множника у (2.24) зі зростанням порядку не зменшується обернено пропорційно до .

З малюнку також видно, що найбільші значення знаходяться між ближніми до країв вузлами, а біля середини інтервалу інтерполювання вони значно менші. Це означає, що (при малому змінені похідної ) в межах інтервалу інтерполяції похибка зростає біля його кінців.

Мінімізувати максимальну можливу похибку можна за рахунок зміщення вузлів від центру до країв. При цьому можлива похибка у центрі зросте, а біля країв зменшиться. Оптимальний ефект буде досягнуто коли всі екстремальні значення будуть рівними. Інтерполяційні поліноми, які мають такі властивості, звуть поліномами найменшого ухилення. Щоб визначити відповідне до цього розташування вузлів, використовують поліноми Чебишова.

Поліноми Чебишова визначаються наступним чином:

. . при . (2.25)

Очевидно при =0 , при =1 .

Використовуючи відому тригонометричну формулу для косинуса суми:

,

при отримаємо:

,

що у свою чергу при порівнянні з (2.25) дає рекурентну формулу для визначення поліномів Чебишова:

. (2.26)

З використанням цієї формули та визначених вище поліномів і можна отримати поліноми Чебишова наступних степенів:

;

;

; . . . . . . .

З (2.25) очевидно, що ектремальні значення поліномів Чебишова при задовольняють умову:

. (2.27)

Це відповідає поведінці функції у випадку полінома найменшого ухилення. Тобто, для побудови інтерполяційного поліному найменшого ухилення на інтервалі , треба щоб вузли інтерполяції співпадали з нулями поліномів Чебишова відповідного степеня.

Нулі поліномів Чебишова є розв’язками рівняння

,

які визначаються наступною формулою:

, . (2.28)

Для довільного інтервалу інтерполяції вузлові значення аргументу можна отримати лінійним перетворенням значень за (2.28) з інтервалу на цей інтервал:

, .