Задача Коши для дифференциального уравнения и для системы дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности решения. Случай линейных уравнений и систем. 4 страница

Возьмем плоскую площадку ∆S, перпендикулярную выбранной оси, нормаль к которой направлена навстречу налетающим молекулам.

Второй закон Ньютона устанавливает связь между силой, действующей со стороны площадки и изменением импульса, налетающей молекулы: ∆ (m ) = ∆t. Проектируя на направление нормали, .

Если молекулы отражаются от площадки упруго, то v1 = v2 = v и =2mv⋅ .

Взаимодействие газа со стенкой будет определяться теми молекулами, которые смогут достичь стенки за время ∆t. Если n — концентрация молекул газа, то за время ∆t на площадку ∆S попадет ∆N молекул, равное ∆ N= 1/6 ∆S v ∆t.

Следовательно,

Одновременно о стенку сосуда ударяется громадное количество молекул.

Практически бесконечно малые силы отдельных ударов складываются в конечную и практически постоянную силу. Т.о., давление, оказываемое молекулами газа на стенку, равно .

Учитывая, что кинетическая энергия одной молекулы рассматриваемого газа равна E = m /2, получаем P = 2/3 nE. (1)

Теперь последовательно устраним оба принятых упрощающих условия, попутно обсудив ценность приближений, принимаемых в физике.

Замечание для студентов. На этом можно попытаться остановиться, указав, что можно показать, что формула (1) справедлива также и для случая когда молекулы движутся с различными скоростями (при этом в (1) кинетическую энергию Е необходимо заменить на среднюю кинетическую энергию E ), а также для случая когда молекулы движутся хаотично, а не только по направлениям перпендикулярным стенкам. При необходимости оба доказательства приведены далее.

Проведем рассмотрение применительно к единичному объему газа. Допустим, что молекулы газа имеют разные скорости: молекул (в единице объема газа) движутся со скоростью , — это следующее приближение. Причем полное число молекул газа (в единице объема) равно

а средняя скорость молекул

Аналогично можем записать и для средней кинетической (другой нет) энергии молекул: Заметим, что из этого сразу следует

Последнее выражение определяет полную энергию молекул газа, содержащихся в рассматриваемом объеме. Поскольку все группы молекул распределены в пространстве изотропно, то понятно, что в выделенном нами направлении будет двигаться 1/6Nмолекул. Число ударов о площадку ∆S за время ∆t со стороны молекул i-ой группы: , а полное число ударов равно

, или . Откуда, Т.о., снова получаем основное уравнение кинетической теории газов (1): =2/3 . Наконец, сделаем последний штрих в проводимом нами рассмотрении: откажемся от коэффициента 1/6 и учтем угловое распределение молекул. Зададим направление движения молекулы в точке О с помощью сферических координат, т.е. введем углы ϕ и ψ, однозначно определяющие любое направление в пространстве.

Окружим точку О сферой произвольного радиуса r. Молекулам, движущимся вдоль вектора , на поверхности сферы будет соответствовать точка A. Все направления движения молекул в пространстве, по-прежнему, равновероятны. Поэтому на единицу площади поверхности сферы приходится точек, соответствующих возможным направлениям скорости молекул. Здесь: N — число возможных направлений движения молекул (число точек на сфере), — площадь поверхности сферы. Естественно, в процессе столкновений молекул друг с другом направление их скорости меняется. Однако из-за очень большого общего числа молекул газа можно считать, что число молекул, поменявших в результате столкновений скорость со значения vi на vk в среднем равно числу молекул, у которых скорость изменилась с на . Это утверждение является важнейшей концепцией равновесия систем, содержащих очень большое число частиц. Число возможных направлений бесконечно, а число молекул, даже в очень больших системах, конечно. Поэтому имеет смысл ставить вопрос не о точном значении угла, а о бесконечно узком интервале углов вблизи некоторого заданного значения.

(2)

40.Внутренняя энергия идеального газа. Закон ДжоуляВоспользуемся первым началом термодинамики в форме . Для квазистатических процессов, в которых термодинамические параметры испытывают бесконечно малые изменения, уравнение, выражающее первое начало термодинамики, принимает вид: δQ = dU + δA (1). Если внутренняя энергия системы не изменяется (∆U = 0) и к системе не подводится тепло (∆Q = 0), из первого начала неизбежно следует, что A = 0. Это означает, что невозможен процесс, единственным результатом которого являлось бы производство работы без каких бы то ни было изменений в других телах. Механизм для осуществления такого процесса получил название перпетуум мобиле (вечный двигатель I рода). Т.о., из первого начла термодинамики следует невозможность построения вечного двигателя. Т.е. теплота ∆Q, полученная системой, идет на приращение её внутренней энергии ∆U и на производство внешней работы A. Термическим уравнением состояния идеального газа является уравнение Менделеева-Клапейрона, имеющее для одного моля газа вид PV = RT. Чтобы установить калорическое уравнение состояния газа, мы должны обратиться к экспериментам, которые позволили дать ответ на вопрос о зависимости внутренней энергии идеального газа от объема. Эти опыты были проведены Гей-Люссаком, Джоулем и, наконец, Джоулем совместно с В.Томсоном. Схема опыта Джоуля и В. Томсона, выполнивших за десятилетие (1852-1862гг.) безупречные экспериментальные исследования, существенно отличалась от использованной в двух предыдущих работах. Это привело исследователей к более далеко идущим физическим выводам. Однако для нас на данный момент наибольший интерес представляет именно ответ на вопрос о зависимости внутренней энергии газа U от занимаемого им объема. Поэтому мы остановимся только на рассмотрении простой идеи, положенной в основу опытов сначала Гей-Люссака, а затем Джоуля. Два сосуда одинаковых объемов A и B соединены трубкой с краном. Сосуд A наполнен воздухом, а сосуд B откачан. Вся система является жесткой и адиабатически изолированной. Поэтому внешняя работа не производится (δA′ = 0), теплообмена с окружающей средой нет (δQ = 0). Т.о., первое начало дает dU = δQ + δA′ = 0. Откроем кран. Воздух из сосуда A устремляется в сосуд B. Дождемся теплового равновесия, т.е. установления во всей системе, включающей в себя оба сосуда, одинаковой температуры. Опыт показывает, что температура газа не изменяется, когда его объем удваивается, т.е. в системе A + B она остается, равной первоначальной температуре T воздуха в сосуде A. Отсюда следует вывод, что внутренняя энергия идеального газа не зависит занимаемого им объема. Другими словами, для идеального газа внутренняя энергия U функционально зависит только от температуры T. Этот опытный факт называется законом Джоуля. Физический смысл результата, вытекающего из опыта Джоуля – отсутствие взаимодействия между молекулами идеального газа. Функция U = U(T) может быть выражена через теплоемкость CV идеального газа. Т.к. для идеального газа внутренняя энергия не зависит от объема, то , т.е. сама теплоемкость идеального газа является функцией только температуры и не зависит от объема. Опыт показывает, что и для многих реальных газов величина в широком температурном интервале остается практически постоянной. Начиная с температур порядка 100 К и до температур порядка 1000 К, можно пренебречь зависимостью от температуры и использовать простую формулу U = T, H = T.