Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методами операционного исчисления
Пусть требуется проинтегрировать уравнение
при начальных условиях:
- заданные постоянные, а 
- заданная функция, изображаемая по Лапласу.
Обозначим изображение искомого решения через 
.
По теореме дифференцирования оригинала (3.4.2), в силу заданных начальных условий имеем:
.
Пусть, далее, 
.
Подставляя в исходное уравнение вместо функций их изображения, получаем так называемое изображающее уравнение:
(здесь 
),
т.е. – алгебраическим относительно изображения искомого решения
.
Для отыскания решения остается по полученному изображению найти его оригинал, пользуясь известными теоремами.
Рассмотрим несколько примеров решения задачи Коши методами операционного исчисления .
1. 
1 
.
, 
= − 
. 
3. 
Зная: 
и , получим
. Отсюда 
.
Оригиналы для изображений 
и известны, а именно:
, .Оригинал 
найдем по теореме свертывания: 
Окончательно:
Изображение периодической функции
В заключение, приведём ещё один пример построения изображения.
Пусть требуется найти изображение периодической функции с периодом 
(при 
). (При 
(3.3)).
 |
Введем вспомогательную функцию 
, которая на полуотрезке 
равна , вне этого отрезка равна 0, т.е.
.
Ее изображением будет служить функция 
, определяемая следующим образом:
,
.
Функцию , в свою очередь, можно выразить через следующим образом: 
, здесь 
- та же периодическая функция, но с запаздыванием на один период, равная нулю при 
. Переходя в последнем равенстве к изображениям и используя теорему запаздывания (3.5.2), получаем: 
, откуда: 
.
Таким образом, изображение периодической функции с периодом определяется следующими формулами:
, где 
.
Пример. В качестве примера найдем изображение функции 
.
 |
Отсюда: 
.
Вопросы для самопроверки.
- Для всякого ли оригинала
существует изображение 
? Сформулировать требования к оригиналу. - Как изменится изображение, если аргумент оригинала умножить на а = 3 ?
- Решить систему дифференциальных уравнений
4. Найти оригинал изображения 
, применив третью теорему разложения (пункт 3.6.3).
Л И Т Е Р А Т У Р А
Основная литература
1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. - М.: Наука, 1966.-331с.
2. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. Учебник для вузов (под ред. В.С.Зарубина и А.П. Крищенко). – М.: МГТУ, –1996. (Серия «Математика в техническом университете», вып. XI).
3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задача и упражнения. – М.: Наука, 1981. – 215с.
4. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. Под ред.Ефимова А.В., Демидовича Б.П., т.2. – 2-е изд. - М.: Наука, 1986.-368с.
Дополнительная литература
1. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. – М.: Наука, 1971. – 632с.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 628с.
3. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М.: Высшая школа. – 1972. - 252с.
Методические и учебные пособия
1. Ванько В.И., Галкин С.В., Морозова В.Д. Методические указания для самостоятельной работы студентов по разделам «Теория функций комплексного переменного» и «Операционное исчисление». – М.: МВТУ,1988.-28с.
2. Шостак Р.Я. Учебное пособие по операционному исчислению. – М.: МВТУ, 1967. – 100с.