Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
I. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ -ГО ПОРЯДКУ
В загальному випадку диференціальне рівняння -го порядку, яке можна розв’язати відносно старшої похідної, має вид
Загальним розв’язком (інтегралом) диференціального рівняння називається функція
яка залежить від довільних сталих і задовольняє двом умовам:
1) при довільних значеннях сталих перетворює в рівняння тотожність;
2) при довільних початкових умовах
існують такі значення сталих , при яких функція задовольняє цим умовам.
Для задачі Коші і є теорема про існування та єдність розв’язку.
Якщо функція неперервна в області D разом зі своїми частинними похідними , ,..., , тоді для будь якої точки (х0,у0), яка належить області D, задача Коші має і причому єдиний розв’язок, визначений в деякому околі точки х0.
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ, ЯКІ ДОПУСКАЮТЬ ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
1) рівняння виду
Розв’язок даного рівняння знаходиться -кратним послідовним інтегруванням. Так як , то дане рівняння може бути переписане у вигляді: , або
Інтегруючи послідовно рівняння, одержимо
. | (1.1) |
Аналогічно, інтегруючи вираз (1.1), знаходимо
і так далі.
Загальний розв’язок матиме довільних сталих ; для одержання частинного розв’язку необхідно використовувати початкові умови (2).
Приклади.
1. Знайти загальний розв’язок .
Найдемо загальний розв’язок рівняння послідовним інтегруванням даного рівняння:
Тоді - загальний розв’язок.
2. Розв’язати задачу Коші
Найдемо загальний розв’язок рівняння послідовним інтегруванням даного рівняння:
- загальний розв’язок.
Знайдемо значення сталих , які задовольняють заданим початковим умовам:
Частинний розв’язок матиме вид
.
2) рівняння виду
Порядок такого рівняння можна понизити за допомогою заміни , тоді і так далі.
Визначаємо загальний розв’язок для функції з рівняння у вигляді .
Далі, після інтегрування співвідношення , маємо загальний розв’язок початкового рівняння:
.
Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння
Рівняння не має явно початкової функції , отже, використовуємо заміну
, .
Підставляючи вираз для і в дане рівняння, одержимо рівняння першого порядку відносно функції :
Одержане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними:
Так як , то
- розв’язок рівняння.
3) рівняння виду
Тут немає . Порядок такого рівняння можна понизити за допомогою заміни , тоді .
В результаті порядок початкового рівняння понижується на одиницю:
.
Якщо знайдено розв’язок для функції
, то одержимо
або
- рівняння відокремлюваними змінними відносно змінних і .
Приклад. Знайти загальний інтеграл рівняння
.
Дане рівняння не має незалежної змінної .Робимо заміну
, .
Підставляючи вираз для і в дане рівняння маємо:
Одержане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними:
Так як ,
Загальний інтеграл має вид:
,
,
.
ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
Лінійне диференціальне рівняння -го порядку в загальному випадку має вид
(2.1) |
де - задані неперервні функції.
Якщо , то рівняння (2.1) називають лінійним однорідним диференційним рівнянням -го порядку.
Загальний розв’язок лінійного однорідного диференційного рівняння -го порядку визначається як лінійна комбінація його лінійно незалежних частинних розв’язків, тобто
,
де - лінійно незалежні частинні розв’язки лінійного однорідного рівняння ; - довільні сталі.
Систему функцій називають лінійно незалежною на (а,b ), якщо тотожність
,
виконується тільки при Сі=0, у противному разі система лінійно залежна.
Для того щоб розв’язки лінійного однорідного диференційного рівняння були лінійно незалежними на (а,b ),необхідно і достатньо, щоб визначник , для будь якого . Цей визначник позначають W(x) і називають детермінант Вронського.
Для двох функцій можна дати більш простий критерій лінійної незалежності.
Функції лінійно незалежні, якщо їх відношення тотожно не дорівнює сталій величині , якщо , то функції лінійно залежні.
Загальний розв’язок рівняння (2.4) може бути представлений у вигляді суми загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і деякого частинного розв’язку неоднорідного рівняння , тобто
.